数学里的 e 为什么叫做自然底数?是不是自然界里什么东西恰好是 e?

我的意思是它和「自然」有什么关系?为什么这个数要叫做「自然底数」呢?
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你抽卡,抽中ssr的概率是1/1000000

你说,那我就氪他1000000发,绝对能抽中吧?

对不起,你仍旧抽不中的概率是0.367879

也就是1/e,这个常数叫做氪不改命常数

╮( •́ω•̀ )╭

难道长的答案一定就是好吗……
自然对数底来源于自然对数,所谓的自然对数就是这样一种函数:
一个物体沿直线运动,运动的速度跟时间成反比,物体的运动距离与时间的关系就是自然对数

用微积分的观点来看就是
ln x = \int \frac{1}{x} dx
为了方便规定ln(1) = 0

虽然我们一般都是把对数跟指数联系起来考虑的,但这个阶段实际上对数跟指数完全没有建立关系。反过来也可以定义所谓“自然指数”:物体运动的速度跟已经走过的路程成正比。显然这个定义很违背人的正常思维,所以指数比对数晚出现其实是很正常的。直到极限的体系建立起来,从整数指数 => 有理数的指数 => 实数的指数的完整路径才建立起来,人们才会觉得指数函数的出现很自然,而对数函数实际上是指数的反函数。

至于自然对数的底,也是在建立起自然对数与指数联系的时候才有的概念。10^x的反函数是log_{10}(x),那么作为对数的祖宗自然也有一个指数函数跟它对应,有指数函数就有底数,这个底数就记作e。

那么怎么求出这个数呢?我们知道e^1 = e,而e^x是自然对数的反函数,那么其实就是:

求e使得ln(e) = 1

我们知道对数函数有一个特性:

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

所以

ln(a^N) = Nln(a)

注意N是整数,所以这里是普通的乘幂,不需要用到指数函数的概念

这样我们既然求e有困难,也就是说难以求出ln(e)=1的值,我们先求某个a使得

ln(a) = 1/N

这样就有

ln(a^N) = 1

也就是

e = a^N

当N足够大的时候,根据自然对数的定义,物体运动的距离足够短,时间也足够短,可以近似成匀速直线运动(这其实是微积分的概念了),而t = 1时速度也为1:

ln(1 + t) \approx t \cdot 1

所以得到

a \approx 1 + \frac{1}{N}

也就是

e \approx (1 + \frac{1}{N})^N

当N足够大的时候这个值也足够精确,也就是:

e = \lim_{N \rightarrow +\infty}{(1 + \frac{1}{N})^N}

这也就是微积分书上对于e的定义了,但实际上这个定义是源于自然对数函数的。

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有人问为什么 \ln (ab) = \ln a + \ln b ,用积分定义是很容易证明的:

\int_a^{ab} \frac{1}{x} {\rm d}x = \int_1^{b} \frac{1}{au} {\rm d}au = \int_1^{b} \frac{1}{u} {\rm d}u = \ln b

中间的等号是令x=au得到的。对等式左边用牛顿莱布尼兹公式,自然就是

\ln (ab) - \ln a = \ln b