如何理解矩阵特征值？

解释特征值特征向量的表达式的物理意义

相似矩阵定义为在不同坐标基底下的同一个变换

有线性变换

y=Ax (1)，x、y为矢量，A为变换矩阵

设在一个正交单位坐标体系P下，同样的变换可以简化为对角的乘积

即，在P坐标体系内，同样变换表示为

λa=b (2)，λ为基底P下的变换矩阵

由于x,y和a,b是分别对应同一个矢量，但在不同的基底下，有基底变换为:

x=Pa,y=Pb (3)

代入式1，得：Pb=APa,

b代入式2，=> Pb=P(λa)=APa，去掉a

=>AP=Pλ即得特征值特征向量表达式推导，如果把P拆成特征向量 x_i ，就是教科书中的特征方程Ax=λx

也可以表达为 => λ=P-1AP

以上表达式还可以直接理解为A(PI)=P(λI)，解释为在基底P下的单位向量I，通过转换为基底为E向量PI，然后再进行A变换。结果和直接在基底P下，用I进行λ等价变换λI，然后转换到基底E的结果相同。也即选定的P基底矢量，经过A变换后，只是做了矢量的伸缩，方向没有变。