如何理解矩阵特征值？

补充：答主现在用到的多数是对称矩阵或酉矩阵的情况，有思维定势了，写了半天才发现主要讲的是对称矩阵，这答案就当科普用了。特征值在很多领域应该都有自己的用途，它的物理意义到了本科高年级或者研究生阶段涉及到具体问题的时候就容易理解了，刚学线性代数的话，确实抽象。

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从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。

特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。

应用到最优化中，意思就是对于R的二次型，自变量在这个方向上变化的时候，对函数值的影响最大，也就是该方向上的方向导数最大。

应用到数据挖掘中，意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量，如果某几个特征值很小，说明这几个方向信息量很小，可以用来降维，也就是删除小特征值对应方向的数据，只保留大特征值方向对应的数据，这样做以后数据量减小，但有用信息量变化不大。

——————————————————举两个栗子——————————————————

应用1 二次型最优化问题

二次型y=x^{T} Rx，其中R是已知的二阶矩阵，R=[1，0.5；0.5，1]，x是二维列向量，x=[x1；x2]，求y的最小值。

求解很简单，讲一下这个问题与特征值的关系。

对R特征分解，特征向量是[-0.7071；0.7071]和[0.7071；0.7071]，对应的特征值分别是0.5和1.5。

然后把y的等高线图画一下

从图中看，函数值变化最快的方向，也就是曲面最陡峭的方向，归一化以后是[0.7071；0.7071]，嗯哼，这恰好是矩阵R的一个特征值，而且它对应的特征向量是最大的。因为这个问题是二阶的，只有两个特征向量，所以另一个特征向量方向就是曲面最平滑的方向。这一点在分析最优化算法收敛性能的时候需要用到。

二阶问题比较直观，当R阶数升高时，也是一样的道理。

应用2 数据降维

兴趣不大的可以跳过问题，直接看后面降维方法。

机器学习中的分类问题，给出178个葡萄酒样本，每个样本含有13个参数，比如酒精度、酸度、镁含量等，这些样本属于3个不同种类的葡萄酒。任务是提取3种葡萄酒的特征，以便下一次给出一个新的葡萄酒样本的时候，能根据已有数据判断出新样本是哪一种葡萄酒。

问题详细描述：

训练样本数据：

原数据有13维，但这之中含有冗余，减少数据量最直接的方法就是降维。

做法：把数据集赋给一个178行13列的矩阵R，减掉均值并归一化，它的协方差矩阵C=R^{T}R，C是13行13列的矩阵，对C进行特征分解，对角化C=UDU^{T} ，其中U是特征向量组成的矩阵，D是特征之组成的对角矩阵，并按由大到小排列。然后，另R' =RU，就实现了数据集在特征向量这组正交基上的投影。嗯，重点来了，R’中的数据列是按照对应特征值的大小排列的，后面的列对应小特征值，去掉以后对整个数据集的影响比较小。比如，现在我们直接去掉后面的7列，只保留前6列，就完成了降维。这个降维方法叫PCA（Principal Component Analysis）。

下面看结果：

这是不降维时候的分类错误率。

这是降维以后的分类错误率。

结论：降维以后分类错误率与不降维的方法相差无几，但需要处理的数据量减小了一半（不降维需要处理13维，降维后只需要处理6维）。