如何理解矩阵特征值?

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特征值不仅仅是数学上的一个定义或是工具,特征值是有具体含义的,是完全看得见摸得着的。

1. 比如说一个三维矩阵,理解成线性变换,作用在一个球体上:

三个特征值决定了 对球体在三个维度上的拉伸/压缩,把球体塑造成一个橄榄球;

剩下的部分决定了这个橄榄球在三维空间里面怎么旋转。


2. 对于一个微分方程:

将系数提取出来

对角化:

其中

由于

定义

于是有

因此y的变化率与特征值息息相关:

再将y由Q变换回x,我们就能得出x在不同时间的值。x的增长速度就是特征值λ,Q用来把x旋转成y。