如何理解矩阵特征值？

二阶矩阵乘以向量，得到一个向量

\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+cy\\ bx+dy \end{bmatrix}

其实这个二阶矩阵可以看成一个复变函数

f(x+yi)=x(a+bi)+y(c+di)=(ax+cy)+(bx+dy)i

所谓特征向量，其实就好比函数的不动点，经过函数映射以后，方向不变。

在复平面，如果两个复数的辐角相同或者相差180°，那么做除法会得到一个实数。

那么我们计算

\frac{f(x+yi)}{x+yi}=\frac{(ax+cy)+(bx+dy)i}{x+yi}

根据复数的除法法则，我们只需要使

((ax+cy)+(bx+dy)i)(x-yi)\in R

那么只需使它的虚部为0，即

x(bx+dy)-y(ax+cy)=0

得：

bx^2+(d-a)xy-cy^2=0

这个二次方程一定可以分解成两个一次方程的积，

我们令 \Delta=(a-d)^2+4bc

在 \Delta>0 时，有2个实特征向量。

在 \Delta=0 时，有1个实特征向量。

在 \Delta<0 时，不存在实特征向量。