如何理解矩阵特征值?

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/* 多图预警 */

用特征向量作为基,线性变换会很简单,仅仅是伸缩变换,而特征值就是伸缩的大小。

各位已经说的很清楚了,我就发几张用mathematica做的图吧。

这里只给出一些“可视化”的2D线性变换。

\mathbb{R}^{2}平面当中的一个向量(x,y)经过一个线性变换(乘上一个矩阵)之后变成了另一个\mathbb{R}^{2}的向量(x',y'),把它的起点接在(x,y),就可以表示线性变换的特性。再画出一组特征向量,我们就有下图:


颜色越深冷,代表向量长度越小。

可以看出特征向量所在的直线上的向量经过变换之后方向不变,这意味着一个向量的分量是各自独立的,这对于我们分析矩阵、线性变换就方便了很多。


(绿色箭头是矩阵的行向量,红色是特征向量)

只有一个特征值-1的情况:


特征值是虚数的反对称矩阵:

其实做的是动图,可惜知乎不支持动图。