高三如何恶补数学？
高二下学期有一次数学考试，我只考了70多分。这个成绩让我焦虑万分。这意味着，我的大学梦想就要化为泡影。
不久以后，我发现了高中数学的秘密，见下图....
后面我会对这张图做详细说明。
继续说实际经历.....
在所有的科目里，唯独数学是不及格的。这件事儿让我百思不得其解，打击沉重。我小学、初中的数学都是最令我自豪的。初中有次数学测验还考过满分。然而，就是这最擅长的科目，在高二下学期居然不及格。眼看还有1年多的时间就要高考了。这让我万分着急。
与我形成强烈反差的是我的同桌。他是数学课代表。数学考试成绩长期稳定在130至140多分，高考的时候是147分。他后来考入了北大电子系。当然我后来与他一同考入北京大学。我们同住在32楼。他住四楼，我住3楼。只不过在高二下学期的时候，这种情景是超出我的想象力的。
那时，我刚刚由于成绩有所进步，从班级倒数第二排被调到了前排。过程充满戏剧性，但又十分干脆。那天，正好数学课代表的同桌晚自习上课迟到。班主任一怒之下，把我调了前排成为数学课代表的新同桌。而把迟到那兄弟放到了倒数第二排的我那位置。
我和数学课代表同桌，本来关系都挺好。聊得来，而且都喜欢踢足球。我很快了解到，他数学如此厉害，只有三个原因。
第一，他爸爸是高中数学老师。这个我早就知道的。耳濡目染的熏陶必然产生作用。
第二，他在初中的时候，他家里订了一些数学杂志。他经常在上面找一些有趣的题目。这样，他对数学一直很感兴趣。这个确实得承认。后来，他北大本科毕业之后，保送研究生，做的是语音信号处理。涉及到大量的数学。他做的挺轻松。现在在北京航天城做卫星测控，做的很出色。这些在高中时代，我们都想象不到。
第三，他一直擅长数学。初中数学竞赛、高中数学竞赛获奖，虽然数学没有好到可以保送北大的程度，但是他名副其实的擅长数学。擅长，这件事儿是很奇怪的。擅长会激发兴趣。兴趣又让人擅长。这是一个正反馈。所以，以兴趣和擅长为根基的优势，是难以撼动的。
想来这三样，都是我不具备的。唯有曾经擅长过数学。但擅长的程度与他相比，不可同日而语。
要说数学的兴趣。我高中对数学真没什么兴趣。数学老师换来换去。起初是一位女老师。性格非常和蔼可亲，一视同仁。我那时比较内向（主要是学习比较渣的副产物），居然在自习课上也敢跟数学老师请教问题的。但这位老师的课程讲的不怎么吸引人，高考之后，我对数学课近乎没有任何印象。
到了快上高三的时候，由于数学老师要休产假，换了另外一位激情四射的老师，也是女老师。可惜那时候，我已经有了自己的一套学习进度，课上基本不听课了。所以，也没有因为老师对数学产生过感觉上的差别。总体来说，高中阶段，数学老师基本上对我的学习没有产生任何影响。为此我感到非常幸运。没有消极影响，已经不错了。
我的数学怎么从擅长变成了不及格了呢？原因很简单。为了奋起直追，所有的学科全面落后，所有的学科上都花费了大量精力。数学的时间供给不足。
我进入高中之后，排名班级30多名。算总分，班上最好的同学比我的成绩高出150多分。也就是说，这些学霸即便有一门课不考试，总分依然比我多。
这种悬殊的差距把我压的喘不过气来。这不是夸张，而是实际情况。小时候，我听到许多成语，总以为是夸张手法。随着年龄的增长，我越来越发现，一些成语并不是夸张而是写实。例如，沁人心脾等等。
我说喘不过气来，是因为在高二的时候，我已经因为长期的焦虑、变成了抑郁，从抑郁变成了身体不良反应，消化功能出了问题。我爸爸专门带我去医院，治疗消化功能问题。要知道，我的身体素质非常的好。从小到高中，几乎没有因病打针吃药的情况。
数学成绩掉入低谷的那个阶段，正是我整个高中的学习全面陷入危机的时候。
对学习本身的几个深层次问题的思考，让我走出了低谷。
1.从学习方法的突破到全面反击
让我跳出消极认知的是反思，用“上帝视角”看自己的学习过程，对深层问题给出朴实的解答。
既然没有明显的进步，距离学霸相差150多分，那是什么原因呢？归结为智商，我不甘心。如果不是智商，那是什么原因？不努力，也不是。还有可能是什么原因？我想不清楚。于是，我想，学习的目的是什么？考好成绩，考好的大学。当然了，简直是废话。谁不想考好成绩，好大学呢。这种愿望的剧烈程度，对于有强烈上进心的人来说近乎是一样的。那么，一天的学习是为了什么？想来想去只有一个原因，是为了进步。那么，我的一天的进步在哪里，有多少进步呢？我发现，我根本弄不清楚。于是，我发现以往虽然很努力的在学习，但完全是糊里糊涂的在学习。于是，这就是结症。
所以，弄明白自己一天进步了多少，进步在哪里，就是唯一、必须做的事情。然后，我当天就开始做一个记录本。不是进步本，也不是课堂笔记。而是把一天所学的东西，无论是做错的题目，还是不会做但弄明白了题目，还有一些积累的零散知识点，都记录在一个本子上。晚上清点战果，复习、重做，保证记忆和理解。然后周期性的复习，直到不忘为止。就这样经过了一年多一点儿的时间，我完成了逆袭。以高于录取分数线60多分的成绩进入北大，获得新生奖学金。
许多学校都主张学生们做“错题本”、“订正本”、“错题集”。做比不做好。但绝大多数老师和学生，不得要领，流于形式。当然，这些名字也是有问题的。错题、订正，这些不是根本，进步才是根本。而导向进步的又绝不仅仅是错题和错题的订正而已。导向进步的，是你所有的明确进步的汇集，还有它们的有效积累。
从想明白学习的目的是为了进步那天开始，遇到不会做的题，我都会记下来。无论是看参考书，还是问同学，搞明白了，就从头到尾记下来。做错了的题目，无论是因为粗心，还是因为知识点、解题方法，搞明白了，从头到尾记下来。新学到一个名言警句，记下来。起初是所有的东西都记在一个本子上，我称之为进步本。这跟现在流行的“错题本”、“订正本”、“错题集”，有本质的差别。
我的进步本是记录我的所有具体进步的本子，包括搞明白了的错题、不会做的题、还有新学到的各种知识，还要关于学习的一切总结、思考。这样，一天下来，一看这个本子，一目了然。记录了多少，就是有多少进步。记录了什么，就是哪里有进步。
但没过多久，我发现，记录下来，不等于进步。只有记在脑子里，不忘记，才是真正的进步。同样的错误再犯，同样的题型又不会了，同样的知识点下次遇到又模糊了，这些都不意味着进步。即便记到了本子上也没用。
怎么办？只有一个办法。每天抽出专门的时间，把本子上面的题拿出来重新做。仅仅是睡觉前看一遍是不够的，因为看一遍以为会了，以为掌握了，实际上不一定。很可能是自欺欺人。事实上，我常常发现。重做的时候，还是有些会做错。所以，在重做的过程中，会对相关的知识点，解题方法进行重新的标记。也会对原有的知识型笔记，进行更多的标注。所以，这绝不是机械式的学习，而是理解式的学习。不断迭代，不断深入的学习。这种方式的学习，一切参考书上的东西，只要是我没有掌握的，都是我模仿、研究的对象。
没过多久，我又想明白了一件事。进步本，不是快速进步的一种方法，而是快速进步的唯一的方法。因为，如果犯过的错误还犯，如果弄明白的题目，下次还错，那么这根本就不是学习。或者，是效率极差的学习。相反，保证出错的不再出错，搞明白了一劳永逸的明白，是学习的底线。于是，我就坚定不移的这么做了。很久之后我才知道，类似错误不犯第二次，是多么的难。
有关这段过程的详细经历，我已经在另外两篇回答中做了充分的回顾和介绍：
你在高三用了什么方法从而大幅度提高成绩？ - 核聚的回答 - 知乎
努力就可以上清华北大吗？如果可以，怎样做？ - 核聚的回答 - 知乎
2.掌握思维技能突破数学
要实现数学的突破。我首先问了这样一个问题：数学的特殊性是什么？
这个问题很重要，到了高中已经学了十几年数学了，如果不了解数学的特性，那肯定就是在糊里糊涂的学了。糊里糊涂的学，能学好吗？糟糕的成绩是必然的。正如费曼所说。
表面上来看，数学的特殊性是精确。语文里面大题错一个字，扣除的分数不多。但数学，即便错一个符号，后果都是巨大的。
但这还不是数学的本质。数学的本质是高度的结构化。我们来问一个朴实的问题。
所有高中数学的基础知识，包括基本概念、性质、定理、公式，全部放在一起有104页（A4纸），约5万字。数学如果要考到140-150分，这些基础知识必须非常精确、非常稳固的“存储”在大脑里。如果用机械记忆的办法，在三年的有限时间里，把这104页的内容完全背下来，是非常艰难的（近乎不可能）。高中数学的学习绝仅仅是这些基础知识，而是包含了大量的解题技巧。后者占用的精力，更大。但是，显然有人做到了，比如那些接近满分的学霸。只不过在他们那里并不是机械记忆。
那么一个数学学得很好的人到底是如何处理数学的基本知识的呢？只有一种可能。他们的记忆不是机械的，而是高度灵活的。只要跟这些讨论就会发现他们的思维特点，同一个问题他们可以从不同的角度给出理解。一个概念，他们可以举出许多不同例子和角度来理解。
什么是数学思维灵活？所谓灵活就是指，他们对数学基础知识的理解是活生生的，不是死记硬背式得来的刻板印象。说到底，就是他们掌握了数学思维。
数学思维，是我很久之后才抓住的一个核心。所谓数学思维是指，在处理数学问题上，一而再，再而三的运用的思维模式。如果把数学当做知识去学习，那么大脑的负担太大，苦不堪言，痛不欲生。但如果把数学当做思维技能来练习，那么在期间大量的思维过程是重复的，熟能生巧。而且典型的数学思维过程并不多！这是最重要的！
那么典型的数学思维到底是什么？其实就是从概念的引入，到性质、定理、公式的推导和证明，以及基本例题的解决。这个过程用到思维过程是极少了。在高中数学里，仅仅是几十种的范围以内。
那么，如果要突破数学，就必须掌握他的核心——数学思维。擒贼先擒王！
怎么擒获数学思维？非常简单，只有以下三点：
（1）推导一切可以推导的；
（2）证明一切可以证明的；
（3）书上的例题全部独立做一遍；
这三点是硬功夫！
当你做完这件事情之后，你会发现数学有其基本的结构。在所有的数学分支中，这种结构近乎是一模一样的。
数学的思维结构是什么？
数学的思维结构是从问题引入定义，这个定义一般会对应着几何直观；然后定义又引入定义的性质，比如导数的性质，极限的性质等，另外，定义包含着运算，比如导数，从导数的定义直接就可以推出运算法则。然后从定义和运算法则和性质，会推出一系列的定理，这些定理在各个复杂的数学情形中进行应用，乃至应用于其他的领域，包括物理学，经济学，生物学等等。
这里关键在于所有的数学分支都是这么同样的一个结构，几乎是完全相同的。数学的所有分支都是这样一个同样的结构。
如果我们把数学的本质当做思维技能来看待，我们立即能回答很多问题。比如说为什么平时做题不错，而考试成绩却不佳，其实最重要的原因是把数学仅仅当做知识来学，因为考试的时候，就它不会考同样的题目。题型还会变动，我们的记忆是会波动的，如果我们着眼于这个思维技能，我们就会发现，技能比知识的记忆要稳定得多，技能比知识的记忆要快得多，技能往往是一种自动化的东西，而知识需要想半天。
可能很多人仍然不理解：数学知识和数学的思维技能究竟有什么差别？
举一个例子，看过一万遍钢琴谱的人会弹钢琴吗？甚至弹过一万遍1234567的人，能弹好曲子吗？显然不一定啊。所以当我们去学数学的时候，我们看许多遍书，不一定有效。看许多遍视频，也不一定有效，即便是练过许多题目，也不一定有效，因为这么做的人多了，考的成绩不理想的。这么做的人，考的成绩不理想的人，比比皆是。
那么什么才是核心？什么才是关键？
最核心的是训练数学的思维。当我们看书的时候，当我们看视频的时候，当我们练习题目的时候，如果我们关注的是如何训练自己的数学思维，这样才会产生效果。这种训练会训练出一种思维技能，数学的思维技能，而这种技能是贯穿于数学的所有分支，所有部分的。
这种技能甚至还可以迁移到其他领域，如果我们把数学看作思维技能的话，立刻可以理解为什么数学成绩很突出的人，反而不去记很多东西？就像一位师弟，在黑板上出一道积分的题目，我们来出题，我们在那讨论，他站在那30秒钟直接报了个答案。他就是这种类型的人，他不会记很多的数学知识，但他却能迅速解题。为什么？因为他们必要的时候可以推导出来，把公式推导出来，这些知识在他们大脑中是一个有机的记忆，甚至是自动化的。
掌握数学思维的同时，你对数学的基本概念、基本性质、命题、定理、公式，都有了全新的感觉。因为你只需要记忆很少的基本概念、基本逻辑，就可以推导出大部分内容。记忆没有负担。
但是对于许多概念、性质的分类。你仍然需要将他们有序化。这时候，画一些框图、思维导图，是很有用的。你可以把这些内容，记录到进步本上。不同的阶段，你会不断完善它们，不断画出新版本。
做了上述工作，数学的知识和思维技能技术就很牢固了。然后可以在上面建大厦了。那就是快速准确的解题！
3.用进步本攻克数学解题技巧
掌握了数学思维还不够，还要大量掌握做题技巧。做题技巧、解题方法，最大的特点是，它们是有限的！！！题型再多，是有限的！方法再多，也是有限的！
基本概念清晰，数学思维清晰的基础上，你只需要做一件事：长驱直入，开疆扩土！
把每一种题型穷尽。把一种题型对应的解题方法，穷尽。
这里进步本就发挥关键作用了。
“阵地战”——按章节的顺序总结各种基本类型题的解法：高考不但考察基础知识，而且还考察一些解题方法，这些方法中，大部分都是很基本的，因此要牢固掌握这些方法。因此，要准备一个类型题笔记本，将那些自己现在还不熟悉的基本方法，按照章节地系统地总结整理。参考自己的错题本，课程笔记，和一、两本参考书。
“歼灭战”——把以往做错的还有不会做的题目消灭掉：错题不但要重新作一遍，而且要作深入分析，找出错误原因，并总结出警示——即怎样才能防止此类错误的再出现（比如，要细心，比如指出这一知识点的要点，比如指出某一个方法的要点等）。我们的错误有三类原因：第一，不够耐心、细心；第二，对知识体系掌握的不够全面、深入；第三，基本的解题方法不够熟练。
查缺补漏：这时候会作大量的模拟题，从而找到自己的弱点。“运动战，游击战”——查缺补漏，逐个击破：从错误所属知识范围，判断自己的弱点，并逐个击破。比如发现在数学上，三角函数的部分错误率比较高，则集中时间（比如两三天之内的数学学习时间全部用在三角函数上）学习、巩固基础知识，并作题目以检验自己的熟练程度。集中时间、经历，就是集中兵力。没有固定的作战线，凡是我们的弱点就是我们的战线。 这一过程积累的成果错题本可以吸收到类型题笔记本里。
一方面，通过作模拟题，巩固上面两阶段的成果，在这上面应该保持大量精力。但如果前两阶段顺利，我们便有能力分出一部分时间来钻研“难题”，这些难题是“制高点”。
战术：分专题，将自己不会作的题目分类，总结各种题型的各种解体方法、解题技巧。继而不断扩大战果，寻找新的难点，逐个击破。这一阶段的主要目标是，每科接近150分（如果满分是150）。
4.收获
自从我用进步本的方法之后，不但解决了焦虑的问题，而且，成绩直线上升。随后是指数上升。数学成绩也是如此。
我高考的数学分数时137分。虽然并不很高，但我以全市第一名，省第三名的成绩进入北京大学。
高考是在自信、乐观、平和的心境中度过的。直到考前一天，我的数学，一方面巩固进步本上的内容，确认没有问题之后，我仍然继续开疆扩土。如果再给我一个月的时间，我相信，我的高考数学能够接近满分。
总结起来，高中数学的突破办法，有如下三个步骤：
（1）掌握数学思维：推导一切可以推导的，证明一切可以证明的，独立作出书上所有的例题。
（2）梳理数学知识：用框架图、思维导图的方式，让数学知识在大脑中高度有序化，随时快速调用。
（3）用进步本穷尽题型和解题技巧：长驱直入，开疆扩土。
这三个步骤是按照优先次序排列的。在同一时期可以并行使用。在不同的阶段，侧重点不同。越到后期，后面的内容所占的比例越大。
希望这篇回答，对你有用。
本文评论区：
Frank li
2 （2017/01/16）
答主说的太有道理了。以前我高中时候也是三角函数最差，公式总记不住。突击学习后，一天做某个证明题时，思路走偏了，几乎把所有三角函数公式都试了一遍，反复变形，写了两页纸的证明过程，最后才做出来。事后一看，标准答案只有七八行，我一开始用了另外一个公式，后面的过程全是从a公式出发推导b公式。但是就这次之后，我对三角函数公式有了一种“迷之自信”，从此以后再也没有做错过任何三角函数题目。
==核聚相关文章===
- 逆袭利器：自强学习法和进步本 —核聚专栏文章
- 努力就可以上清华北大吗？如果可以，怎样做？ - 核聚的回答 - 知乎
- 怎样才能从英语很糟糕的人变成英语很厉害的人？ - 核聚的回答 - 知乎
- 你在高三用了什么方法从而大幅度提高成绩？ - 核聚的回答 - 知乎
- 哪些因素导致了高考竞争中的劣势？ - 核聚的回答 - 知乎
- 在学习高中语文的过程中有没有什么好的经验可以分享？ - 核聚的回答 - 知乎
- 排名在前 1% 的高中生是靠天赋还是靠努力？ - 核聚的回答 -知乎
- 距离高考还有 144 天，生物和化学这类「文科性质的理科」如何正确提分？
- 怎样练就一颗强大的心态，能做到考试不紧张？ - 核聚的回答 - 知乎
- 怎么治疗考试综合症（考前失眠）？ - 核聚的回答 - 知乎
- 高一想要开始认真学习 从现在开始怎么做才能高考取得好成绩？（文科方向）？
- 高考有多残酷？ - 核聚的回答 - 知乎
知乎专栏：
核聚微信订阅号：核聚（hejupai）