行列式的本质是什么？

先说答案：行列式是线性变换的伸缩因子。

理解行列式一定要从线性变换出发去理解，直接去理解它的代数形式是没有意义的。

这篇文章的结构是：

• 线性变换的几何直观
• 实现线性变换的矩阵
• 行列式

1 线性变换的几何直观

线性变换的几何直观有三个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变
• 变换前是原点的，变换后依然是原点

比如说旋转：

比如说推移：

这两个叠加也是线性变换：

自己动手试一下（观察下是否符合之前的三个要求）：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

2 实现线性变换的矩阵

矩阵可以讲的东西非常多，我这里通过一个具体的例子来展示下矩阵是如何完成线性变换的。

我把基画出来的原因是因为矩阵变换的其实是基。

举例子来看看，比如旋转（旋转矩阵 )：

如果要说详细点，实际上：

我们只需要旋转基，就可以完成正方形的旋转：

下面我们看看正方形的旋转过程中，旋转矩阵和基是怎样变化的（为了方便观察旋转，我标记出一个顶点）：

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再给一个例子，看看推移是怎么改变基的：

3 行列式

3.1 行列式是线性变换的伸缩因子

我们还是拿旋转矩阵来举例子：

什么意思？我们来看看：

在继续往下面讲之前，我设计了一个动画，让你来感受一下，变换矩阵的行列式由正到负，线性变换会怎样进行（我把基也标注出来）：

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掌握了行列式是线性变换的伸缩因子这一点之后，我们就很容易理解各种行列式的值与线性变换的关系。

3.2 行列式>0

行列式>1，很显然对于图形有放大的作用：

行列式=1，图形的大小不会变换：

0<行列式<1，很显然对于图形有缩小的作用：

3.3 行列式=0

行列式等于0，有一个重要的结论是，矩阵不可逆。这点也很好理解。

先看看什么是可逆。原始的图形是这个样子：

通过旋转矩阵，逆时针旋转45^\circ：

再通过另外一个旋转矩阵，顺时针旋转45^\circ：

看起来这个正方形就像没有变换过一样，因此 \begin{bmatrix}cos(-45^\circ)&-sin(-45^\circ)\\sin(-45^\circ)&cos(-45^\circ)\end{bmatrix} 和\begin{bmatrix}cos(45^\circ)&-sin(45^\circ)\\sin(45^\circ)&cos(45^\circ)\end{bmatrix} 互为逆矩阵。

有的线性变换是可逆的，有的不行，比如行列式=0这样的线性变换就是不可逆的。从图像上看，图形会缩成一点：

或者缩成一条直线：

没有矩阵可以把它们恢复成原来的样子。

这就好比摔碎的鸡蛋、泼出去的水、破了的镜子：

所谓覆水难收、破镜难圆就是这个意思。

3.4 行列式<0

原始图像是这样的：

被行列式<0的矩阵线性变换后是这样的：

行列式<0，其实就是改变了基的“左右手法则”。

4 推论

知道了行列式的意义，我们就很容易知道，为什么说：

我们也很容易知道，为什么说：

我们也很容易知道，为什么说三阶矩阵的行列式是列组成的平行六面体的体积。

关于行列式的代数理解可以参看这篇文章：行列式的来历与克拉默法则

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：行列式的本质是什么？

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