No.2 智能投顾的背后 — B-L模型
近年,智能投顾(Robot Advisor),作为一种新兴的投资模式,在美国市场快速崛起,出现了Wealthfront、Betterment等创业公司。在国内,也出现了一批智能投顾概念的公司。
什么是智能投顾?
Investopedia中的定义如下:智能投顾是一种在线的资产管理服务,提供动化的、基于算法的资产配置建议,不需要理财分析师的参与。
大多数的智能投顾公司都是根据现代资产组合理论,结合用户的个人主观风险偏好和客观风险 承受能力,帮助用户进行资产配置。以Wealthfront公司为例,它为客户提供的投资服务,主要 包括以下五个方面:
选择理想的资产类别。这些资产类别需要体现“跨资产、跨区域”等特点。主要包括股 票、债券、抗通胀资产三大类别。以股票类别为例,除了美国市场的股票,还包括发达 国家市场股票,以及发展中国家股票。
根据各个资产类别选择费率较低、跟踪指数的ETF基金。一些重要的经济学研究表明, 大部分的共同基金(65%~75%)的表现不如市场,并且那些在一段时间内表现优于市 场的基金也不能保证在之后的时间同样能有好的表现。因此,对于一般的投资用户而 言,被动型ETF基金有其独有的优势。在美国市场,被动型基金的份额近年也不断上 升,目前已有超过一千五百支ETF基金。对于如此众多的ETF基金,Wealthfront帮助客 户从中选择低费率、跟踪指数准确、有一定市场流动性的ETF基金,作为投资标的。
评测用户的风险偏好。为了帮助客户进行资产配置,需要知道客户的风险偏好。传统的 风险评测,要求客户完成若干风险相关问题,根据客户的回答,得到客户的风险评估。 该风险偏好既包括用户主观的风险偏好,以及实际客观的风险承受能力。
根据现代资产组合理论,进行相应的资产配置。
监测并调控资产配置。根据现代资产组合理论,优化得到的资产配置,并不能一直保持最优。随着市场的变化，各个资产的预期收益和风险也在发生改变，因此需要定期监控对应配置，并进行适当地调整
如何进行资产组合配置?
对于资产配置,人们最常听到的一句话是“不要把鸡蛋放到一个篮子里“,这句话告诉我们要进 行风险分散。而如何进行风险分散?我们应该选择哪些篮子?各个篮子中的鸡蛋应该怎么放? 这就是现代资产组合理论所告诉我们的。
现代资产组合理论(Modern Porfolio Theroy)由Markowitz于1952年提出,由于该理论作者 获得1990年诺贝尔经济学奖。Markowitz引入数理统计的方法刻画资产的收益和风险,分析资 产组合。在该理论中,用资产的期望表示预期收益,对应的方差表示风险。该理论假设,用户 在其对应的风险承受能力下,都是追求利益最大化,即在预期收益一定的情况下,追求风险的 最小化,在风险确定的情况下,追求预期收益的最大化。对于不同类型的资产,不同的资产组合方式会带来不同的预期收益和风险。Markowitz指出,若以横坐标代表资产组合的风险,纵 坐标代表资产组合的预期收益时,可以得到一条最优的资产组合边界曲线,即有效边界 (Efficient frontier)。
现代资产组合理论中提出均值-方差最优化模型,该模型对于给定的用户风险偏好,同时对资产组合的预期收益和风险进行优化,得到最优化的资产配置。原始的无约束均值-方差模型如下:
其中,U为效能函数,Rp 为资产组合的期望收益,σp为资产组合的标准差,τ为投资者的风险 偏好。均值-方差模型的目标为最大化效能函数U. 上述公式(1)可以重写成如下形式,
其中,μ为资产预期收益向量,w为资产权重向量,Σ为资产的协方差矩阵。
无约束的、均值-方差模型,通过最大化最大化效能函数U ,得到资产组合的权重向量w 。该 无约束模型得到的权重,即可以是小于0的值(表示要对该资产进行做空),也可以是大于1的 值(表示对该资产加杠杆)。
在Wealthfront中,使用带约束的均值-方差模型,如下:
上式中,a,b表示资产配置的下限和上限,具体地,在Wealthfront中,a=5%, b=35%,其认为当一个资产配比小于5%,该资产对整个资产组合而言不具有实际的多样化的意义。
均值-方差最优化模型中存在的问题
在现代资产组合理论中,均值-方差最优化模型,是其中核心的部分。对于无约束的均值-方差 最优化模型,存在如下三个问题:
1. 会产生比较极端的资产配置。在无约束均值-方差模型中,会出现对某个资产的强烈做 空。
2. 资产组合对于输入的资产预期收益值的变化非常敏感。
3. 模型不够直观,投资人本身的一些观点无法在模型中表达。
以上三个存在的均值-方差最优化模型中的问题,使其实际的应用受到限制。为了克服这些问题,在1990年,高盛的两个交易员Fischer Black和Robert Litterman提出了Black- Litterman资产配置模型。
Black-Litterman模型
Wealthfront、Betterment均使用Black-Litterman模型,为投资者实现资产组合配置。该模型最 早于1990年,由高盛的两个交易员Fischer Black和Robert Litterman提出,随后发表于1992 年。最初该模型被用于全球资本市场的配置。
Black-Litterman模型使用贝叶斯方法,将投资者对于一个或多个资产的预期收益的主观观点与 先验分布下预期收益的市场均衡向量相结合,形成关于预期收益的新的估计。这个基于后验分 布的新的收益向量,可以看成是投资者观点和市场均衡收益的加权平均。
Black-Litterman模型主要步骤
上图为B-L模型的主要步骤,首先根据资产的市值权重,逆优化计算得到市场均衡收益Π ,该 收益为先验收益。之后,加入投资者观点收益得到新合成的后验收益E(r)。对于该后验收益, 根据均值-方差最优化模型,得到新的资产组合权重向量。
什么是市场均衡收益?
均衡收益是以市场中性为出发点来估计一系列的超额收益。如果投资者没有特别的观点,那么 就可以用这些市场均衡的收益估计值。如果投资者对某些资产有特别的观点,那么就可以根据 观点的信心水平来调整均衡收益,从而来影响投资组合配置。具体的市场均衡收益是通过逆优 化(Reverse Optimization)计算得到,对应的计算公式如下:
其中,δ为风险厌恶系数,δ = (r − rf )/σ2 ,或者δ = SR/σm,SR表示夏普率。 wmarkert 为市场组合权重,即对应资产的市值归一化后的权重。Σ为资产收益的协方差矩阵。市场组合权重,即对应资产的市值归一化后的权重。Σ为资产收益的协方差矩阵。
投资者观点
B-L模型中,对投资者观点进行了形式化。投资者观点既可以是绝对的观点,也可以是相对的 观点。假如我们有四个资产和两个投资者观点:
观点一:相对观点,资产1比资产3的收益要多2% (该观点确信度为25%)。
观点二:绝对观点,资产2将取得3%的收益(该观点确信度为50%)。
在B-L模型中,资产数量为n,投资者观点数量为k,则可以通过P、Q、Ω三个变量表示对应 的观点,其中P(n ∗ k)为连接矩阵,Q(k ∗ 1)为投资者观点向量,Ω(k ∗ k)为观点误差矩阵。模型中,不需要投资者对所有资产都要有自己的观点。上例中,四个资产,两个投资者观点, 对应的的观点向量Q,连接矩阵P分别如下:
其中,观点向量Q 中的两个值分别对应观点一的相对收益2%和观点二的绝对收益3%,连接矩阵 P为k行的矩阵,每一行对应一个观点,每行中包括n列,表示对n个资产的看法。
对于相对观点,相对收益较高的资产列值为+1,另一资产列值为-1,其余值为0。如果该行 表示相对观点,则该行元素的和为零。对于绝对观点,该行中只有绝对观点对应的资产列值为 1,其他值均为0。
B-L模型假设投资者观点收益服从分布N(Q, Ω),观点误差的协方差矩阵Ω表示投资者观点的 不确定性,误差越大,Ω中对于的值越大,反之越小。该协方差矩阵为对角阵,表示投资者观 点之间相互独立。具体得,Ω矩阵的值,可以通过如下公式进行估计:
其中,τ为标量,Σ为资产收益的协方差矩阵。
B-L模型后验收益
Black-Litterman模型的后验收益公式如下:
其中, E(R)为新(后验)收益向量,τ为标量,Σ为资产收益的协方差矩阵,P为投资者观点矩阵连接矩阵,Ω为投资者观点误差的协方差矩阵,Π为隐含均衡收益向量,Q为投资者观点向量。
该公式,实际上是实现均衡收益向量Π和投资者观点向量Q的加权求和。根据计算得到的后验收益,并且通过均值-方差最优化模型,我们可以得到新的资产组合权重。
---------------------
参考资料
Global portfolio optimization, Fischer Black & Robert Litterman 1992
https://research.wealthfront.com/whitepapers/investment-methodology/
https://www.betterment.com/resources/investment-strategy/portfolio-
management/portfolio-optimization/
A STEP-BY-STEP GUIDE TO THE BLACK-LITTERMAN MODEL, Thomas M. Idzorek
The Black-Litterman Model In Detail, Jay Walters
资产配置之 B-L 模型I:理论篇,蒋瑛琨、杨喆
资产配置之 B-L 模型I:实证篇,蒋瑛琨、杨喆
