最大似然估计和最小二乘法怎么理解？

谢邀，这个问题下的答案很多是直接从机器学习领域过来回答的，很有启发性，让我了解了在别的领域是如何理解这两种方法的。论及本质，其实两者只是用不同的度量空间来进行的投影，如同 @颢卿 的答案所提到的那样，OLS的度量是L2 norm distance，而极大似然的度量是Kullback-Leibler divergence.

不过这种高度抽象的统一框架，主要功能就是让人听起来很优雅很爽，满足了人对形式美的追求，缺点也很明显：

1. 不在概率论方面下一些功夫不太能真正理解
2. 无法直接拿过来应用

所以在大多数情况下，我们介绍这两种方法的时候，可能并不需要讲解这么抽象的东西。好，下面我们开始说人话^_^

设想一个例子，教育程度和工资之间的关系。我们观察到的数据无非就是一个教育程度，对应着一个工资。我们希望的自然是找到两者之间的规律：如果把教育程度的初中、高中、大学、研究生及博士定义为1234的话，我们希望找到类似于工资=1000 +2000x教育程度 的这种规律，其中1000和2000是我们需要从数据里面发现的，前者称之为底薪，后者称之为教育增量薪水。

如果我们就观察到两个数据，那解起来很简单，直接把两个数据带进去，二元一次方程组，就得到底薪和教育程度增量薪水之间的关系。这个在图上就体现为两点决定一条直线：

但是如果现在有三个数据，怎么办呢？如果这三个点不在一条线上，我们就需要作出取舍了，如果我们取任意两个点，那么就没有好好的利用第三个点带来的新信息，并且因为这三个点在数据中的地位相同，我们如何来断定应该选用哪两个点来作为我们的基准呢？这就都是问题了。这个时候我们最直观的想法就是『折衷』一下，在这三个数据，三条线中间取得某种平衡作为我们的最终结果，类似于图中的红线这样：

那怎么取平衡呢？那我们现在必须引入误差的存在，也就是我们要承认观测到的数据中有一些因素是不可知的，不能完全的被学历所解释。而这个不能解释的程度，自然就是每个点到红线在Y轴的距离。

但是我们尽管痛苦的承认了有不能解释的因素，但是我们依然想尽可能的让这种『不被解释』的程度最小，于是我们就想最小化这种不被解释的程度。因为点可能在线的上面或者下面，故而距离有正有负，取绝对值又太麻烦，于是我们就直接把每个距离都取一个平方变成正的，然后试图找出一个距离所有点的距离的平方最小的这条线，这就是最小二乘法了，简单粗暴而有效。

而极大似然则更加的有哲理一些。还用上面的例子，我们观察到了三个点，于是我们开始反思，为什么我们观察到的是这三个点而不是另外三个？大千世界，芸芸众生，这么多人都有不同的工资，不同的学历，但是偏偏这三个点让我给观察到了。这肯定说明了某种世界的真相。

什么世界的真相呢？因为我们观察到了这三个点，反过来说，冥冥之中注定了这三个点被我们观察到的概率可能是最大的。所以我们希望找到一个特定的底薪和教育增量薪水的组合，让我们观察到这三个点的概率最大，这个找的过程就是极大似然估计。

具体的做法很简单，因为底薪和教育增量薪水虽然我们不知道，但是它一定存在，所以是个固定的值，能够随机变动的就是我们观察不到的神秘误差，那么给定一组底薪和教育增量薪水，必然存在一个唯一的误差与之对应，共同组合成了我们看到的数据。比如说，我们观察到一个人是：

高中毕业（学历变量=2） 工资 4500，如果我们假定工资=1000 +2000x教育程度的话，那么理论上工资应该是5000，而我们观察到了4500，所以这个时候误差为500。而误差=500，根据我们假设的误差的概率函数，总是存在一个概率与之相对应的（这个概率的分布我们可以假设）。而极大似然估计，就是把我们观察到每个样本所对应的误差的概率乘到一起，然后试图调整参数以最大化这个概率的乘积。

其背后的直觉是：假想有一个神秘的超自然力量，他全知全能，自然也知道真实的数据背后的规律。他在你抽样之前先做了一次复杂的计算，把无数个可能的抽样中，最可能出现的那个抽样展示给你。于是你根据这个抽样，逆流而上，倒推出来了数据背后的真实规律。

总结一句话，最小二乘法的核心是权衡，因为你要在很多条线中间选择，选择出距离所有的点之和最短的；而极大似然的核心是自恋，要相信自己是天选之子，自己看到的，就是冥冥之中最接近真相的。^_^

说的通俗一点啊，最大似然估计，就是利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。

例如：一个麻袋里有白球与黑球，但是我不知道它们之间的比例，那我就有放回的抽取10次，结果我发现我抽到了8次黑球2次白球，我要求最有可能的黑白球之间的比例时，就采取最大似然估计法： 我假设我抽到黑球的概率为p,那得出8次黑球2次白球这个结果的概率为：

P(黑=8)=p^8*（1-p）^2,现在我想要得出p是多少啊，很简单，使得P(黑=8)最大的p就是我要求的结果，接下来求导的的过程就是求极值的过程啦。

可能你会有疑问，为什么要ln一下呢，这是因为ln把乘法变成加法了，且不会改变极值的位置（单调性保持一致嘛）这样求导会方便很多~

同样，这样一道题：设总体X 的概率密度为

已知 X1,X2..Xn是样本观测值，求θ的极大似然估计

这也一样啊，要得到 X1,X2..Xn这样一组样本观测值的概率是

P{x1=X1,x2=X2,...xn=Xn}= f(X1,θ)f(X2,θ)…f(Xn,θ)

然后我们就求使得P最大的θ就好啦，一样是求极值的过程，不再赘述。