如何通俗地讲解「仿射变换」？

简单来说，“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”。

先看什么是线性变换？

1 线性变换

线性变换从几何直观有三个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变
• 变换前是原点的，变换后依然是原点

比如说旋转：

比如说推移：

这两个叠加也是线性变换：

自己动手试一下（观察下是否符合之前的三个要求）：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

1.1 代数

简单讲一下旋转是怎么实现的，可以让我们进一步了解代数是怎么描述线性变换的。

你可以手动操作下，会发现旋转矩阵在不断变化（为了方便观察旋转，我标记出一个顶点）：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

总结下来，线性变换是通过矩阵乘法来实现的。

2 仿射变换

仿射变换从几何直观只有两个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变

少了原点保持不变这一条。

比如平移：

因此，平移不再是线性变化了，而是仿射变化。

2.1 代数

我们来看下仿射变换是怎么用代数来表示的。

上一节我们说了，线性变换是通过矩阵乘法来实现的，仿射变换不能光通过矩阵乘法来实现，还得有加法。

因为我们表示仿射变换为：

\vec{y}=A\vec{x}+\vec{b}

2.2 通过线性变换来完成仿射变换

这是我觉得非常优美的一个地方：

什么意思？继续举例子：

这样我就可以在三维空间下通过\begin{bmatrix}A&\vec{b}\\0&1\end{bmatrix} 这个线性变换来操作z=1 平面上的二维正方形，完成仿射变换：

自己动手操作一下：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

我们平移到需要的位置的时候：

如果还有没有清楚的地方，可以结合之前的描述，看一下维基百科“仿射变换”词条里的一个gif动图，非常生动的表明了这一过程：

更多内容查看马同学图解数学系列

以下内容仅涉及图形变换，未考虑更为抽象的概念。

为了方便起见，以下叙述均采用平面直角坐标系。

一个矢量（1，2）可以表示为从原点指向该点的箭头。

你可以对这个矢量进行缩放，比如放大两倍就变成了（2，4）

这个操作可以表示为2 x（1，2）。也就是说放大k倍就是k（x，y）

上面的例子写成矩阵的话就是，这里用到了矩阵乘法。

这个很简单。你也可以把矩阵中的两个值弄成不一样的。那么如果你对一张图片操作的话，横竖两个方向上的缩放倍数不同图像就变形了。方的变成长方的。

你也可以对矢量进行旋转。

比如想把向量（1，0）逆时针旋转45度。旋转以后的向量和这个向量会构成一个三角形。旋转以后的是斜边，长度和原来向量长度一样。用勾股定理计算一下。三角形的顶点会变成（√2/2, √2/2）。这个看起来比较麻烦。但是如果你明白矩阵乘法是怎么算的，那很容易理解为什么一个旋转矩阵会是这样的：

有些变换，比如反射。相当于你在第一种情况里面对角线上的两个值有一个是负的。那么对应的就会把这个轴翻转过去。别的都很好理解。

这些变换被称为线性变换。它提供了把一个图像扭成任意形状的方法。

但在二维坐标系内，用2x2的矩阵所不能表示的变换就是平移操作。你在上面所有的操作无非都是给向量的两个分量乘一个系数。没办法再加一个数。想要表达这种计算就得给你的矩阵变成这样：

这样的话你的（x，y）向量就没法乘进去了。你可以在后面添个1，编程（x，y，1）这样的。那么变换以后的结果就是

（xa1+yb1+c1，xa2+yb2+c2，1），去掉最后面的1，前面的就是线性变换加上一个平移变换的结果。

这就是仿射变换。简单的说就是一个线性变换加上平移。

写公式和矩阵真坑爹啊。。。