信息熵是什么？

4年前的回答，有些表述不是很准确，现在在我的公众号里更新了：链接

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让我们说人话！好的数学概念都应该是通俗易懂的。

信息熵，信息熵，怎么看怎么觉得这个“熵”字不顺眼，那就先不看。我们起码知道这个概念跟信息有关系。而它又是个数学模型里面的概念，一般而言是可以量化的。所以，第一个问题来了：信息是不是可以量化？

起码直觉上而言是可以的，不然怎么可能我们觉得有些人说的废话特别多，“没什么信息量”，有些人一语中的，一句话就传达了很大的信息量。

为什么有的信息量大有的信息量小？

有些事情本来不是很确定，例如明天股票是涨还是跌。如果你告诉我明天NBA决赛开始了，这两者似乎没啥关系啊，所以你的信息对明天股票是涨是跌带来的信息量很少。但是假如NBA决赛一开始，大家都不关注股票了没人坐庄股票有99%的概率会跌，那你这句话信息量就很大，因为本来不确定的事情变得十分确定。

而有些事情本来就很确定了，例如太阳从东边升起，你再告诉我一百遍太阳从东边升起，你的话还是丝毫没有信息量的，因为这事情不能更确定了。

所以说信息量的大小跟事情不确定性的变化有关。

那么，不确定性的变化跟什么有关呢？
一，跟事情的可能结果的数量有关；二，跟概率有关。
先说一。
例如我们讨论太阳从哪升起。本来就只有一个结果，我们早就知道，那么无论谁传递任何信息都是没有信息量的。
当可能结果数量比较大时，我们得到的新信息才有潜力拥有大信息量。

二，单看可能结果数量不够，还要看初始的概率分布。例如一开始我就知道小明在电影院的有15*15个座位的A厅看电影。小明可以坐的位置有225个，可能结果数量算多了。可是假如我们一开始就知道小明坐在第一排的最左边的可能是99%，坐其它位置的可能性微乎其微，那么在大多数情况下，你再告诉我小明的什么信息也没有多大用，因为我们几乎确定小明坐第一排的最左边了。

那么，怎么衡量不确定性的变化的大小呢？怎么定义呢？
这个问题不好回答，但是假设我们已经知道这个量已经存在了，不妨就叫做信息量，那么你觉得信息量起码该满足些什么特点呢？

一，起码不是个负数吧，不然说句话还偷走信息呢~

二，起码信息量和信息量之间可以相加吧！假如你告诉我的第一句话的信息量是3，在第一句话的基础上又告诉我一句话，额外信息量是4，那么两句话信息量加起来应该等于7吧！难道还能是5是9？

三，刚刚已经提过，信息量跟概率有关系，但我们应该会觉得，信息量是连续依赖于概率的吧！就是说，某一个概率变化了0.0000001，那么这个信息量不应该变化很大。

四，刚刚也提过，信息量大小跟可能结果数量有关。假如每一个可能的结果出现的概率一样，那么对于可能结果数量多的那个事件，新信息有更大的潜力具有更大的信息量，因为初始状态下不确定性更大。

那有什么函数能满足上面四个条件呢？负的对数函数，也就是-log（x）！底数取大于1的数保证这个函数是非负的就行。前面再随便乘个正常数也行。
a. 为什么不是正的？因为假如是正的，由于x是小于等于1的数，log（x）就小于等于0了。第一个特点满足。
b. 咱们再来验证一下其他特点。三是最容易的。假如x是一个概率，那么log（x）是连续依赖于x的。done
c。四呢？假如有n个可能结果，那么出现任意一个的概率是1/n，而-log(1/n)是n的增函数，没问题。
d。最后验证二。由于-log(xy) = -log(x) -log(y)，所以也是对的。学数学的同学注意，这里的y可以是给定x的条件概率，当然也可以独立于x。

By the way，这个函数是唯一的（除了还可以多乘上任意一个常数），有时间可以自己证明一下，或者查书。

ok，所以我们知道一个事件的信息量就是这个事件发生的概率的负对数。

最后终于能回到信息熵。信息熵是跟所有可能性有关系的。每个可能事件的发生都有个概率。信息熵就是平均而言发生一个事件我们得到的信息量大小。所以数学上，信息熵其实是信息量的期望。（表达式参考其它答案或者看下面）
H=-\sum_{x\epsilon U}{P(x)\log P(x)}

至于为什么用“熵”这个怪字？大概是当时翻译的人觉得这个量跟热力学的熵有关系，所以就用了这个字，君不见字里头的火字旁？

而热力学为什么用这个字？这个真心不知道。。。

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据评论里 @林杰威 的说法：
熵最早是由热力学定义的一个函数，是普朗克来中国讲学的时候引入的。英文是“entropy”这个字，中文词汇中没有相关的字眼。当时是一个有名的姓胡的学者作为普朗克的翻译。因为这个熵“S”是定义为热量Q与温度的比值，所以当时他翻译是立刻创造出熵这个字，从火，从商。

最近建了个微信公众号“运筹之学”开始做一些运筹的科普，希望能让非运筹专业的朋友懂一点运筹思维，运筹专业的人看到更多好的运筹应用，无论做起什么来都不自觉地更有效率。

第一篇文章：运筹之学，在明理，在止于至善 讲一讲运筹是什么

第二篇文章：如何保持一直升职加薪？通过运筹来讲一讲做运筹的套路

以后尽量保持周更，也尽量保持不出现数学公式的推导，而讲更多洞见。