怎样用简单的语言解释 monad？

使用 join 诠释的话，Monad 会有一个非常不同的理解：Monad 是可以增（return/unit，\mathrm{Id}\rightarrow T）减（join，T^2\rightarrow T）层数的「箱子」。而 unit 和 join 因为满足某些定律所以形成了一个幺半群（对，这就是那老梗）。所以，Monad 代表的是层次，而不是顺序。（回想下 CPS，是不是用层次表示顺序的？）

Haskell 的 bind 可以看作 fmap 和 join 的复合

首先解释 Endofunctor，Endofunctor 是（不加限制的）箱子，它把类型（一个类型范畴里的对象）T 装进去变成 F(T)，同时还能保证所有函数（态射）A->B，都有一个带箱子的版本 F(A)->F(B)。

而 Monad 呢？就是除了前面的两个箱子，我们还能定义出把任意类型的数值装进箱子的 unit：T->F(T)，以及把两层箱子只留一层的 join：F(F(T))->F(T)。

Endofunctor 们可以组成一个新的范畴，其中有个很简单的元素 Id，它代表的「箱子」就是「没箱子」，恒等变换。由于恒等变换 Id 存在，所以我们可以尝试着用「二阶」的手段去掉 unit 和 join 签名里面的 T，只关心 F 的部分，于是我们有了：

• Unit : Id -> F
• Join : F × F -> F

这个形式和幺半群很相似，所以我们说：A Monad is a monoid object in a category of endofunctors。

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• 对于数组，箱子就是数组本身，join 定义成 concat，把两层数组合并成一层
• 对于 Maybe，箱子是 Nothing/Just 包围，join 定义成把整套结构排扁
• 对于「副作用」，箱子是对某种状态的修改（用函数的形式表示），join 定义成副作用的复合
• 对于 Cont，箱子是形如\lambda k.\,k\,x的一层封装（接受一个 continuation，把「里面的东西」丢给他；数学上是一个双对偶空间），join 就定义为\mathrm{join}\ f\ k=f\,(\lambda f'.\,f'\,k) =(\lambda k_2.\ k_2\ (\lambda k_1.\ k_1\ x))(\lambda f'.\,f'\,k)=(\lambda f'.\,f'\,k)(\lambda k_1.\ k_1\ x)=(\lambda k_1.\ k_1\ x)\,k=k\ x
  
• Free monad 就是构造间隔的红绿两层盒子，在 join 那一步抽掉绿色的盒子（Free F），只留下红色的（F），然后根据你就可以自己决定怎么组合它们……

写个答案给知道数学的 Haskell 初学者看：

如果 F 是 monad, 那任意一个 monadic map X\to FY 可以升级成 FX\to FY , 记住下面这个交换图表就行了（ i 是 return, 是一个自然变换 \text{id}\to F , j 是 join, 是一个自然变换 FF \to F , 对角线上 FX\to FY 其实是 (>>=f).），这个图表上下两个三角形都是交换的。

\begin{CD} X @> i >> FX\\ @V f V V\swarrow @VV Ff V\\ FY @<<j< FFY \end{CD}

当 f = i 的时候对角线上是 \text{id} .

记住这个图表以后怎么 compose monadic map 也是显然的——

\begin{CD} @. @. X @> i >> FX\\ @. @. @V f V V\swarrow @VV Ff V\\ @.Y @> i >> FY @<<j< FFY\\ @. @V g V V\swarrow @VV Fg V\\ @. FZ @<<j< FFZ \end{CD}

g >=> f 就是上图中的 X\to FY\to FZ .

从这个图表看，>=> 的结合律是显然的（想想 [**] 那里就可以）

  h >=> (g >=> f) 
= h >=> ((>>= g)·f)
= (>>= h)·((>>= g)·f)
= ((>>= h)·(>>= g))·f
= (>>= (h >=> g))·f [**]
= (h >=> g) >=> f

最初那个交换图表甚至可以用作 monad 的定义。