数学
贝塞尔曲线

如何得到贝塞尔曲线的曲线长度和 t 的近似关系？

三次贝塞尔曲线方程中的 t 和走过的总曲线长度关系不是线性的，然后我搜索到下面的某位前辈的一段话： --- For each bezier curve…
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贝塞尔参数曲线的弧长积分为：

s=\int_0^T\sqrt{{x}'^2+{y}'^2}dt, T\in[0,1]

对于贝塞尔曲线的x,y参数方程，分别对t求导，然后带入以上公式，会发现其弧长积分表达式很不容易直接求得积分原函数。二阶贝塞尔的积分结果已经涉及到对数/反双曲函数，而三阶贝塞尔属于椭圆积分！ 通常，椭圆积分不能用基本函数表达，意味着解析法无解。

对于无解析解的数学计算，可以使用近似求值。数值分析就是研究近似求解的学科。

梯形法则，也即直线插值。是大多数人想到的，用折线长度来近似曲线长度的方法。但是这种方法的精度很低，收敛速度也很慢。

定义：若有一种数值积分方法用于所有k次或小于k次的多项式的积分都是精确的，那么k就是这种数值积分方法的精度。这个精度也在某种程度上代表收敛速度。

梯形法则、Simpson法则、Weddle法则等使用插值多项式逼近曲线的近似积分法，统称为Newton-Cotes积分法。n阶的Newton-Cotes积分法有精度n（n是奇数）及n+1（n是偶数）。于是可知，梯形法则的精度为1。 Simpson法则，精度为3。

在最小二乘意义下对函数拟合多项式，能达到更高的效率，这就是Gauss积分法。Gauss积分法使用Legendre多项式集合，这些多项式集合是互相正交的，可以用最小的分割次数达到最高的精度。 Gauss积分法有精度2n-1，约为Newton-Cotes积分法的两倍。

Gauss积分法的缺点是误差估计较难，并且不具有递推性，当节点数增加时，无法直接利用之前计算过的数值。 Kronrod积分法，使得Gauss积分法能够递推，并给出了可靠地误差估计，但牺牲了精度，Kronrod积分法的精度约为3n/2。

Python语言的SciPy科学计算库就直接支持Gauss-Kronrod积分法，其底层是Fortran77编写的老牌数学库，速度相当快。默认算法精确到小数点后8位。

参考书籍：

  1. 数值分析，Timothy Sauer著，吴兆金、王国英、范红军译，人民邮电出版社，2010.1
  2. 数值分析导论（第3版），Kendall Atkinson、韩渭敏著，王国荣、徐兆亮、孙劼译，人民邮电出版社，2009.10
  3. 科学计算导论（第2版），Michael T.Heath著，张威、贺华、冷爱萍译，清华大学出版社，2005.10

最近在倒腾插值的问题

假设屏幕上有两点P0(起点)，P1(终点)，有一个函数P(t)，当t属于[0,1]时P_{t}=(x_{t} ,y_{t})

运动轨迹如图


这个是最简单的线性插值，很容易知道P_{t}=(1-t ) \times P_{0}+t\times P_{1}

基础知识铺垫好了，就可以讲贝塞尔公式了

仍然知道P_{0}和P_{1},可是Beizer是弯的，要控制它往哪边弯，还需要一个控制点C_{p}


他是往上弯的，上图出现的是quadratic Beizer，贝塞尔曲线氛围数据点和控制点，图像会过数据点，而不会过控制点，控制点的存在是为了控制曲线的形状。

为了获得上图曲线的公式P_{t}，链接两条辅助线


可以看出P_{0} \rightarrow CP是直线，CP\rightarrow P_{1}也是直线，他们的函数为

P_{c0}(t)=(1-t)*P_{0}+t*C_{p}P_{c1}(t)=t*P_{1}+(1-t)*C_{p}

举个例子说明t的含义，假设小明要从p0走到p1，P_{t}为t时小明所在的位置，当t=0时位于起点，t=1时位于终点，P(0)=P_{0},P(1)=P_{1}

对于某个t,函数得到的值是小明在t时刻的位置，也就是点(x_{t},y_{t})

如果小明一根筋,，那么小明的路径就会是下图绿点所在直线


现在的问题是小明不走直线了，他要走曲线，所以要求出二次贝塞尔曲线的函数Q(t)

我们对于两点的插值函数：P_{t}=(1-t ) \times P_{0}+t\times P_{1}，可以解释成P0和P1在t时刻对于位置P_{t}影响的大小,t靠近0，P_{0}对于P_{t}影响越大

假设两条线M(t),N(t),如果他们同时对某点Q_{t}的位置有影响，当t越靠近0，M(t)影响越大，t越靠近1，N(t)影响越大，按照两点线性插值的方法对两条线进行插值,得到函数

Q(t)=(1-t)*M(t)+t*N(t)

如果把M(t)和N(t)替换成上图的直线P_{0}\rightarrow C_{p},C_{p}\rightarrow P_{1}就可以得到公式

Q(t)=(1-t)^{2} *P_{0}+2t(1-t)*C_{P}+t^{2}*P_{1}

这个就是二次贝塞尔曲线的公式，同时叫它二次贝塞尔就是因为t的最高次项是二次

可以见得Q(0)=P_{0},Q(1)=P_{1}

然后说说三次贝塞尔，三次贝塞尔需要两个控制点

刚才做二次贝塞尔插值的时候，每一段需要3个点，我们刚好可以把这四个点拆成两组[P_{0},C_{0},C_{1}][C_{0},C_{1},P_{1}]，获得两个二次贝塞尔曲线的方程Q_{0}(t),Q_{1}(t)，按照同样的思路，t越靠近0，Q_{0}(t)的影响越大，t靠近1，Q_{1}(t)的影响越大

C(t)=(1-t)*Q_{0}(t)+t*Q_{1}(t)

整理一下方程

C(t)=(1-t)^{3}P_{0}+3t(1-t)^{2}C_{0}+3t^{2}(1-t)C_{1}+t^{3}P_{1}

这个就是三次赛贝尔的方程，注意观察t为0和1时的值

如果我们一直按照这样的思路插值，可以得到更高次的贝塞尔曲线

嗯，回到题主的问题，要求出贝塞尔曲线的长度，我们对于函数P(t)的定义，这个函数是指时间t时的位置，也就是说如果对于P(t)求导就是得到的函数P_{d}(t)就是t时刻的速度

如果我们对于二次赛贝尔的曲线的公式进行求导，可得函数

P_{d}(t)=2tP_{1}-2C_{p}-2(1-t)P_{0}

按照微积分的思想，把如果把t分得很小，就可以用S=\Sigma (P_{d}(t)*\Delta t)求得路程


数学问题解决了，不过我觉得求曲线长的实际应用意义不大

因为最近在倒腾插值，所以写了一个小编辑器 makecurve.duapp.com/

里面赛贝尔的插值，还有其他插值方法


最后放出参考链接 book.douban.com/subject 向@Milo Yip大神致敬