复杂系统的简单笔记
（题图来自网络）
首先，与复杂系统对立的是什么？
简单系统。
什么是简单系统？
可以用物理经典的还原论思维来简化描述其规律的系统。
比如卫星绕地球运动， 我们只要把卫星所受到的基本作用力一一分解出来， 然后列出牛顿方程， 就可以解决掉卫星的轨迹问题。
那么什么是复杂系统呢？
而复杂系统说的是由大量单元互相作用组成的系统， 其活动呈现非线性， 往往形成具备无数层级的复杂组织。
这里主要强调的是大量互相作用的微观单元， 通过非线性效应， 得到一个性质与微观单元完全不同的宏观整体。 更强调一套联系不同尺度的数学方法。
现在我们看看下面这几幅图有些什么共同规律：
我想这里强调的是， 尽管组成上述三幅图， 花菜， 沙丘，和河流网络的微观单元（沙子，细胞，水）非常不同，但是他们的宏观形式在数学上却有惊人的相似性。
1967年，Mandelbrot在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》（How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension）的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、粒子的布朗运动、树冠、花菜、大脑皮层……Mandelbrot把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年，他创立了分形几何学(Fractal Geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。
图中的雪崩和股市的灾难性崩盘也呈现如果在时间轴上看， 是否也具有某种相似性？这里讲到的概念是相变。虽然组成股市和雪山的微观粒子不同， 但是他们却具有类似的动态特征。由此我们看到复杂系统的核心魅力——那就是这些展示的现象虽然说是由性质完全不同的基本组成元素构成，但是在宏观上却表现出类似的性质， 那是因为这些基本单元的组成形式是类似的。
那么我就简要说一下这些组织是如何形成的。
首先，研究这些组织你无法通过只研究其单元理解。比如你大脑是典型的复杂系统， 你要理解大脑视觉回路是如何识别一只猫的， 你无法通过分解出每个神经细胞的概念就能够理解我们的脑神经回路是如何处理视觉信号的。 同样，社会是一个复杂系统， 你理解了人性， 却无法因此理解社会和公司的形成。
复杂系统的形成主要有三个东西：
1， 作用（关联）
- 不是单体的特性， 而是单体是如何相互关联形成组织的， 因为这类系统共同的特点是长程关联 。 关联往往导致1+1>2 或1+1< 2 或称为非线性 。 最典型的例子是市场， 复杂系统给出价格是网络相互作用导致的，我们都受到邻居影响（herding effect）相互作用非常重要。比如刚收的神经元是因为相互作用构成神经网络来处理信号的。
相互作用导致协同效应。两个人在一起可以是1+1大于2 ， 也可以是1+1 小于2， 但基本不会是1+1=2， 前两者都可以看做是非线性的体现。比如为什么会有公司，那一定是某种合作导致的1+1大于2效应使得组织可以产生。
2， 反馈
复杂系统多描述一个系统的时间变化过程， 如市场价格的波动， 神经网络随时间的活动等， 研究这个时间变化过程， 往往要考虑此刻的结果对下一刻系统结果输出的影响。股市的反身性就是反馈的一种。
反馈分为正反馈和负反馈， 负反馈导致定点平衡态。 正反馈导致不稳定性， 如雪崩， 股市崩盘。因为在所有复杂系统中， 都存在正反馈和负反馈。反馈带有回路的概念。一个单元通过相互作用传递给另一个单元， 反过来另一个单元又可以把信息传递回来。反馈往往是指此刻的活动对下一刻的活动的影响。比如市场价格。市场价格永远围绕均衡波动。价格高，导致市场买的人少， 又降低，这是典型的负反馈。负反馈把系统维持在稳定位置。dx=-x, 这是负反馈。
3， 相变
这是复杂系统的第三个重要性质 ，而且是我们后面提到组织形成的核心。当系统主导反馈的性质发生变化，则经历一个相变。
相变在自然和社会中无处不在， 自然中的相变当然包括冰和水之间的转化， 也包括磁铁从一种相到另一种相的变化， 社会中的中的相变如苏联的解体， 人类历史王朝的变化更迭。这里物理里的典型例子是磁铁。
磁铁这个东西 , 并非总具有磁性 。那么具有磁性和不具备磁性的铁是什么区别呢？请看上图。
磁铁有两个相， 一个是组织成分均匀一致（有序）的状态， 一个是无序和混乱的状态。虽然他们都是铁原子构成的。大家觉得是铁原子无序的排序会产生磁性还是有序的排序？当然是有序的， 所谓你要对外发挥一种作用， 需要齐心合力， 那个无序的构型使得每个磁针的磁性相互抵消了。
这里就建立了相的概念。那么相变，就是当你改变某个外部变量， 整个系统从一个相到达另一个相的过程。相变理论是复杂系统研究的重要对象， 我们都知道磁铁有的有极性有的没有极性。 研究磁铁特性变化的模型被称为Ising model ，说的是paramagnetic （无磁性）到 ferromagnetic （有磁性）的变化。这里影响一个系统相变的主要是两个要素， 一个是熵（无序性，系统信息的缺失）， 一个是某种趋同的效应。
在铁磁物质里， 每一个原子都有极性， 平行排列的极子具有指向相同方向的趋势 ，而熵无序的作用则破坏这种效应， 两种力量互相争夺，在较高温度下，熵的作用占主导，而较低温度下，有序的趋同的力量占主导。 在某个温度下，磁体的原子从无序的状态过度到完全有序的状态。 在完全有序的状态下整个磁体显现出对外的磁性。在此处，我们可以控制的外部变量就是温度。
温度越高， 熵就越大。 F=E-TS， 热力学系统寻找自由能最小的状态， 当温度为0，系统自由能最小的状态是一致有序的态， 温度升高， 无序的态的自由能逐步减少， 直到某个点， 称为比有序态更有优势的状态。类似的还有水到冰的相变。也是在某个温度上， 无序和有序的交替。
这称为临界。 所谓临界，就是相变时候的状态， 因为这个时候最特别， 你说他到底是有序还是无序呢？临界点上的系统属性特别复杂， 统计上我们经常看到具有标志性的肥尾分布或类似肥尾的分布， 这样的分布无处不在， 比如股市价格波动， 工资分布（帕累托）
临界态极为重要 ， 为什么？
因为系统在临界点上的属性特别复杂，丰富和有趣， 而且，更重要的， 大部分和我们息息相关的系统事实上都在某种程度处于临界态（或靠近临界态）包括大部分的生物系统， 经济系统。刚讲到的股市崩盘和雪崩的例子， 都是诠释了临界态。
至于临界态是怎么发生的，《大自然如何工作》这本书以及相关的书评可以帮助我们更好的理解，https://book.douban.com/review/5430252/。在此不再赘述。
此外，所谓涌现， 是在刚才讲到的作用， 反馈， 自组织临界基础上得到的， 系统从微观到宏观， 性质属性质的突破。 最简单的例子是路， 所谓人走的多了就成了路， 森林中出现交错的小径是大量人物穿越所涌现出的一种现象。涌现性和相变点也有千万联系 ， 大家可以关注自组织临界（self organised criticality）的理论， 去查看更多这个领域的知识。
而复杂系统元素很多， 而且元素之间均有相互作用， 最好的刻画方法就是复杂网络。
The Product Space Conditions Development of Nations, Science 这篇文章就是运用复杂网络描绘了产业森林。在我们专栏之前的文章《从国家产业升级到职业选择--一篇Science神文的启示》有详细描述：链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/21526637
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