动力学是如何做预测的
作者： 许铁
英语管动力学叫dynamics，或叫mechanics，岂不是汽车修理工的学问？
没错，动力学研究的就是事物运动变化的因果关系。在它的世界观里，世界是一张相互作用的大网，而事物运动变化的原因，都可以从这张大网上找出。
动力学最初的一鸣惊人，是空前绝后的牛顿三定律的提出，而牛顿第二定律又是三定律的核心，只要有高中数学基础的人就知道，它是力与加速度的关系，看起来不起眼，但是它包含了整个动力学的核心思维，是什么？ 是受力分析吗？
No。 第二定律的本质，是预测，而预测无穷尽的未来，你不需要太多信息，只需要知道此刻和与之最近的下一刻的关系（微分的思维，下一刻是一个极限的概念，恰好脱离此刻的时刻），所谓s(t+1)=f(s(t))。s代表state，即状态， f就是由此刻的状态得到下一刻的状态的迭代关系。有了f和初始时刻的s，未来即确定。
这个方法的威力说多大也不夸张，想象一下，如果你是上帝，这是一个多么省事的方法，你无须操心大千世界芸芸众生的未来，只需要设定一个f，叫它不停迭代，就可以管理整个宇宙了。牛顿发现了这个上帝偷懒的方法，于是人类把握了上帝的力量。
注：牛顿定律，远没你的高中老师想象的简单，F，m，a背后，那可是一整套宇宙观。
在机械运动的问题里，s是物体的位置和速度，而f是由物体之间的几何关系表达的（力同样依赖于物体的位置或速度），所以几何关系成为动力学问题的核心。
第二定律的成功就不用多说，但是在最初的两百年，这种成功也就是机械领域，脱离了机械运动，似乎人们不太有办法使用几何关系预测变化。
而从19世纪开始，动力学的理论开始由机械运动的领域逐步向其它领域扩散，最初是物理领域内的扩散，到20实际以后又开始向物理领域外延伸，一部现代科学发展史，可以看做动力学深入各个学科的历史。
一切的改变，基于两个如雷贯耳的名字，拉格朗日和哈密顿。 这两个人奠定了整个分析力学，但是分析力学最初的目标不是放大动力学的应用， 而是对更抽象的数学形式的追求（其实形式亦决定本质），由此得到牛顿定律2.0版。以前的牛顿力学研究真实空间里的运动，而这两个人把空间的概念拓展为抽象的广义空间。广义空间是和广义坐标结合在一起的（generalized cooridnates），这两个人想到，既然物体的状态由位置和速度共同决定，而且它们是独立的，那么何不把速度也看做一种抽象的位置，那么物体速度的变化就可以看做广义坐标的里位置的变化，那么，物体状态的全部信息，均可以作为坐标信息表述，而动力学的全部，都可以用几何关系表达。
看起来，这像是具有几何强迫症的书呆子想出来的把戏，但是历史将证明，往往是书呆子改变了世界。
为什么一个小小的数学把戏改变了科学史？
广义坐标的应用，使得动力学的经纬-位置和速度取得了对等的地位，我们通常把位置和速度构成的空间叫做相空间（一个全新的6维空间，包含位置三维和速度三维）。如果用一句话描述相空间的好处，就是真实空间里你只能看到物体运动的那条轨迹，而在相空间里，你可以看到物体所有可能运动的轨迹。或者说，相空间把空间从三维拓展到六维，而这个空间里我们看到不仅是我们生活的那个宇宙，而是所有可能宇宙的总和。
为什么？ 因为，物体所有可能的状态均是相空间里的一个点（位置+速度），在牛顿的世界观里，只要初始状态确定，那物体运动的轨迹随之确定，如果说此刻物体的状态是一个点，那么它的运动过程就是这个空间里的一条曲线。而如果物体的初始状态具有不确定性，它就不是一个点，而是围绕某个点的一小块区域，而物体的运动轨迹也不再是一条曲线，而是流形（flow=曲线的集合），类似于流体力学里液体。 我们所说的历史大潮，就是相空间里物体运动轨迹的集合。
分析力学的伟大正在于把物体在三维空间里的运动化作了高维空间里的流。表面上看这样的方法使运动失去了直观性，但实质上，却更接近了运动的本质。在这个观点上，越抽象，就越真实，应用就越广泛。
高维空间的好处有什么呢？最重要的，他使我们由关注研究物体的某一条运动轨迹，变为了同时研究物体所有可能的轨迹，所有可能的历史，所有可能的未来。也就是说三维空间是我们的宇宙，而分析力学的高维空间却具有把握的却是平行宇宙，那些符合物理定律的所有宇宙。这个思维意想不到的开拓了整个现代物理，从统计到量子力学。
在相空间里我们可以得到一个叫哈密顿的函数（H）， 相互作用不需要在用力表达，画很多的箭头做受力分析，而是用H，H最简单的理解是能量，由动能和势能共同组成，由广义坐标唯一确定。在一个能量守恒的系统里，它包含了系统变化的全部信息。
注：能量这个物理最重要的概念在不同领域里具有不同含义，但是最根本的意义还是作为哈密顿量的表述， 它包含了物体在相空间里的全部动力学信息，既包含此刻的信息，又包含相邻下一刻的信息。
由此提出牛顿方程的2.0版哈密顿方程，可以看做动力学问题的标准形式：
注：p代表物体的动量（速度*质量），q代表位置。这个方程说的是，p和q在时间上的变化率等于H相对p和q在相空间上的偏微分
p代表物体的动量（速度*质量），q代表位置。哈密顿方程比牛顿方程更加清晰的表述了动力学的本质，它告诉我们要预测物体的运动轨迹，核心在于了解下一刻的状态是怎么从此刻衍生出来的，而衍生的法则就是一个微分算符作用于物体此刻的状态（由哈密顿量表述），这个算符不停作用，就衍生了整个运动轨迹。
而哈密顿方程背后有一个更为惊人的基本原理：就是最小作用原理-或为哈密顿原理：它告诉我们，有一个叫作用量的函数，这个函数的特点是把物体在相空间的运动轨迹给对应为一个数。最小作用原理告诉我们，真实物体的轨迹，就是让这个数最小的那一个。
这个原理的伟大不亚于能量守恒定律，它告诉我们所谓物理的真实，就是遵循最小作用原理。几乎所有物理定律及四大力学（经典力学，电动力学，统计力学，量子力学）均可统一于这个原理，它是宏观物体的机械运动和微观系统的状态变化的桥梁。
研究电子，光子的运动，牛顿定律用不上，但是牛顿定律的灵魂却以哈密顿的形式在所有其他体系里复生。它告诉我们为什么光与台球，都要沿直线传播，都有类似于反射和折射的现象。而为什么在广义相对论里，光又可以不沿直线传播。
动力学的威力在这里已经淋漓尽致了，它不仅解释那些我们看见了的世界，还告诉我们没有看见的世界是什么，什么是有可能发生的，即使我们没有看到，只是因为我们看的时间还不够长。
它是一种超越性的思维，让我们绕过事物的表现，直抵本质，两种截然不同的领域，只要它们具有结构相同的微分方程，它们就是一回事。在动力学的世界，无论是太阳升起降落，还是交流电的震荡，甚至我们的心跳与王朝的更替，只要归于同类方程引导的周期运动，就是同质的。这就如同万有引力定律，苹果落地与地球绕日运动， 在动力学的角度里只是初始速度不同而已，本质都是引力。
注：所有周期性的运动在相空间里都具备同样的范式-同心圆环。图中描述了一个一维运动，位置和速度构成二维的相平面，周期运动的本质即相空间上位置和速度的此消彼长。
后记：如果问世界是否有一门学问，可以被称为世间其所有其它学问的发动引擎，有的人可能说是数学，有的人可能说是哲学，更或者神学，而依我看，它叫动力学。
为什么动力学是一切学科的引擎？因其简洁透彻，却法力无边。 动力学是一套关于准确把握事物变化的因果关系的方法，不是靠占星而是靠数学。你可以想象，大法师手里不再拿水晶球，而是一张纸一个笔，画几条线，就预测了整个世界。这归功于古希腊科学的瑰宝-量化和几何的思维，如同毕达哥拉斯所说，世界无非数量关系。
本文首发于微信公众号混沌巡洋舰（chaoscruiser）。
欢迎关注混沌巡洋舰，追寻自然界复杂下的简单，带你学习各路跨界干货。
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
