非线性动力学是怎么解复杂系统的
由于动力学的思维的高屋建瓴，因果关系的表述之清晰，决定了动力学终将不止步于物理，而它也的确席卷了那些通常认为物理不能染指的领域，如生物学，社会学，经济学，甚至语言学，心理学。
每当动力学进入一个领域，我们就可以说我们真正理解了那个领域，而之前，最多只是描述而已。
然而这个过程却只是进入20世纪才开启，为什么？
原因在于，相比物理系统，那些领域都显得太复杂了，而复杂的原因有三，一是元素太多，二是非线性，三是能量不守恒。
所谓元素多，好理解，无论是生物系统，还是社会，都是又无数的小单元组成的，如细胞，人。而非线性就较难表述。
那么，什么是线性？线性=可加和性。物理系统往往是线性的。如在牛顿力学里，力是可以加和的，物体受的合力是所有施加在物体的力的和，每一种力混合在一起时候都和它们单独存在时候一致。
线性显然在生活或社会这样的系统上不成立，你并不是把一堆细胞放在一起就有了生命体，也不是把一堆人放在一起就有了社会，细胞组成生命或人组成社会，都是在更大尺度上形成了新的组织。 而这些组织所呈现的性质，完全不能等价于组成它们的单元的性质的加和。
至于第三点能量不守恒，生物或社会系统都是典型的耗散系统，这些系统的本质特点即不停的与外界交换能量和信息，一旦这些系统能量守恒往往意味着已经死亡。能量不守恒使得哈密顿方法根本无法进入这些系统，那些复杂的积分公式在真实的复杂性面前望而却步了。
注:开放性的复杂系统，能量信息的输入和输出，以及涌现性（非线性叠加）构成了它的本质。
这些传统物理方法难以触及的领域，在很长时间里无人问津，直到20世纪几个革命性的理论提出后。这些方法包括非平衡态的统计物理和相变理论，复杂网络，非线性动力学， 混沌论，协同论，博弈论等。而这些方法综合在一起，衍生了一门叫做复杂系统的新学科，它使得动力学进入了这些物理不可染指的理论。
注：建立在多门新兴学科基础上的复杂科学
复杂科学使得动力学进入了生物学，进入了社会学，进入了经济学，无论生命过程，还是金融运作，都可以表述为相空间里的流形。而微分几何，拓扑，统计物理，有朝一日将会成为生物学家，经济学家，和股票分析师的共同语言。
而动力学的方法，给人类使用计算机大规模解决复杂问题奠定了基础。计算机模拟的一般方法即先列出一个系统里的变量（相空间的维度），然后需找“运动法则” - 此刻与相邻时刻状态的迭代关系，并列出方程。这正是构建一个基本的动力学系统的方法。而计算机解决这些问题的过程，其实就是检验我们的动力学系统是否正确。如果我们我们抓住了动力学系统的全部要点，计算机的模拟甚至会比真实更真实。当然现实中，我们永远都要做近似。
之后要讲述动力学是如何进入物理学之外的世界。你将看到物理的思维在简明扼要的理解世界方面多么给力。
开篇我要讲两个人，庞加莱与秦皇。看似风马牛不相及，却存在着微妙的联系。 欲知其奥秘，请和我看非线性动力学。
非线性动力学，是物理学的思维进入传统方法所不能解决的问题的一座丰碑。也是非常有前途的工具学科，它为大数据时代提供潜在的分析引擎。
为什么说非线性，因为物理之外的系统大多数不能用线性系统表述（详情请见《动力学是如何做预测的》）。
上一篇文章说过，动力学的核心使命是预测系统的变化，非线性动力学在这点上也是一样的。一个经典的非线性动力学系统具有标准的表述形式：
x是一个向量（vector），它所具有的分量个数即系统的维度。
维度是动力学系统的最基本属性 。它决定系统的复杂性，及其可能具有的基本性质。 还有，我们有多大把握预测系统的未来。
看完这篇文章你就明白，高维空间绝非之存在于宇宙之边（广义相对论）或者加速器的深处（弦论），而是你我的生活中处处皆是。
本篇我将就着从低维到高维的顺序，用图形的思维， 讲述复杂性是如何随着维度升高而产生的，同时，庞加莱，秦皇或者凯恩斯又是如何联系起来的。
最简单的系统是一维系统，预测一个一维的非线性系统，往往只需抓住一个关键性信息-定点。
I 一维系统与定点（Fix Point） “简单系统偏好平衡”
马尔萨斯人口论合不合理？
18世纪末，在工业革命前夜的英国，一个叫做马尔克斯的伟大思想家提出了这样一个困扰了人类几个实际的问题： 人类的人口呈指数增长，而食物的总量至多成代数增长， 所以当人口的增长超过食物，人类将不可避免的陷入饥荒，疾病和战争。而普遍性的贫穷，是人类文明的宿命。
这个理论解释了为什么许多古代文明陷入发展停滞的泥沼，从埃及，两河领域到古中国。
马尔萨斯的理论，其实诠释的是一个叫Fix Point-定点的动力学概念。 它所说的是，在一个复杂系统里，事物的增长往往不是线性的，而是存在一定的稳恒状态，系统的变化会逐步减速并自发的把自己维持在这个状态上。
这样的现象几乎在生活中一挑一大把。比如说小孩子长高到一定程度就不长了，你在网上发状态，开始很多人点赞，但在一定时间后减速直至停止。
非线性动力学用定点fix point来描述这种现象。 为什么fix point 普遍存在？ 因为负反馈的普遍存在。当一个事物像一个方向走的太远，就往往有一种反方向的作用力把它拉回，有点像我们所说的物极必反或阴阳相抵。
回到马尔萨斯， 人口理论其实符合一个叫做Logistic Model的经典一维动力学模型, 它也因它那美妙绝伦的S曲线而闻名。
这个模型说的是，在没有环境压力的时候（人人吃饱饭）人口的增长率是恒定的，所以如果第一年是2，那么第N+1年即使2的N次方（几何增长），但是一旦人口接近环境的阈值，就会有人开始饿死，而这个饿死的比例随着人口的增长而增大（负反馈）。这样，当饿死的人等于出生的人，两个此消彼长的要素就在某个点上平衡了。 所谓定点。
反映在数学上，就是这样一个微分方程 ：
人口的变化取决于两个相乘的因子，一个描述增长 （rN），一个描述饥饿（1-K/N）。 定点，就是使微分（人口变化率）为0的点，当人口数恰好处在这个点上，就会不增不减。
这个定点具有一个更深刻的性质，无论你的人口一开始是多少，只要K给定，系统都会趋于一个相同的值。这个值由环境本身的容量所确定。
注： 上图为系统N随时间的变化， 不同的曲线代表从不同初始位置出发的结果。箭头带表N变化的趋势。 下图是N的导数和N的关系图，可以看到使得N导为0的N值即系统的定点，这里是0和K。
马尔萨斯的确是一个有着深刻洞察力的思想家，它在没有任何这些数学概念的时候发现了这一原理。 当人口的增长达到一定限度，大规模的饥荒和战争将使人口增速变慢实现大自然的平衡。
这的确是人类社会的基本矛盾，而且是古代社会变化的一个核心动力。为什么欧亚草原的游牧民族没个几百年就会对农业文明的世界进行一次大扫荡，从2世纪横扫中国直至欧洲的匈奴到14世纪的蒙古帝国？ 为什么中国每到一个朝代的结束就会发生饥荒？ 难道是真有天意？其实都是由于人口增长与环境负载的矛盾。在游牧民族这是侵略的动力（饿了，跟我走！）。而在中国，表现在人口与土地的矛盾，显然王朝初年和王朝末年都有灾荒，但是唯独在王朝末年具备破坏力（系统脆弱）。为什么？王朝末年往往经历了较长的太平期，人口增长，土地不变（可开垦的荒地往往被开垦光了），造成人多地少局面，马尔萨斯的预言就开始发挥效力，系统通过农民战争，饥荒，需找平衡（定点）。
（注： 土地与人口的比例，是中国历史的第一主要变量，但是它无法解释为何中国历史进入循环而非静态平衡? 有待下文。）
（注：懂动力学的人，不会去信古代那些史学家别有用心的说辞，而是写出一行漂亮的微分方程。）
但是，马尔萨斯完全正确吗？ 事实上，马尔萨斯的诅咒可以用于所有古代文明，却唯有一个不再试用，那就是产生马尔萨斯的文明本身-西方文明。西方文明崛起的时代，就是人类人口快速增长，而人均生活水平却在不断提高的时代。 为什么？ 很简单，答案依然在定点理论。
刚才我们的动力学系统有一个隐含的假定，就是环境的负载K一定，所以定点是不随时间改变的。但是这个假设依赖于一个条件-技术。
农业技术的发展使得环境的负载值K也在增长，甚至比人口N还快，就使得系统的定点随时间增长，因而人口可以不停增长。这里面其实还有一个潜在的动力学效应。就是人口数量增加如果配合良好的教育，甚至会成为科技发展的动力，因为有更多的人从事研究，而这种效应，无疑提供一个人口增长强大的正反馈，事实上观察美国等现代国家的发展也正是这样的例子。
动力学系统定点的分析，告诉中国人，要感激的是袁隆平而不是邓小平。还有，人类不想返贫的办法只有不停的投入研发。
定点的稳定性：
动力学里最重要的概念-定点（fix point），但是定点本身却只具有系统很少的信息，更关键的性质来自于对定点周围区域的分析。 或者说定点的稳定性。
那在一些情况里，定点好想是系统变化的宿命。起点还是什么都不重要，你不需要担心输在起跑线上，只要你起跑了，就会到一个地方-定点。 而在另一些情况里，定点虽然存在，但是你只有在极特殊的条件下才能达到，类似于屌丝逆袭，屌丝的逆袭是有的，但是要有极好的运气+相当高的智慧才行。即使你达到了这样的定点，稍有风吹草动也会失去它。
我们用一个叫做稳定性的概念来描述这一特性。稳定性是描述当系统处在定点周边的状态，它是比较容易进到定点还是离开它。
一个典型的例子是单摆, 单摆的微分方程有两个取零的点，但是你通常看到摆处在最低点却极少有机会看到一个处在顶点的单摆。原因很简单，单摆的低谷是稳定定点而高点是不稳定的。 除非你一开始就静止在最高点而且排除任何外力，否则最轻微的偏离就可以导致单摆回到稳定的最低点。
在物理的角度很容易理解一个定点是稳定的还是不稳定的，只需要稍微的离开定点，看一下系统的运动情况，看看系统在定点的相邻区域里的运动趋势怎么随位置变化。而这翻译成动力学语言就是在定点周围进行泰勒展开，并取一阶线性近似（在一维得到一个线性的斜率，高维就是雅可比矩阵的特征值）。如果在定点周围的运动趋势指向定点（线性的斜率为负，雅可比矩阵特征值为负），则定点在局域内稳定，反之则局域不稳定。
注：定点的稳定性，取决于泰勒展开的不为零的第一项的正负。左图为稳定平衡，右图为不稳定平衡，虽然均为定点，但周边性质迥异。
稳定性，换一个词叫吸引力。一个稳定性定点，就像一个区域的主人，它能把进入其辖区内的所有人都吸收到它的点上。它所管辖的区域，称为-Basin of Attraction。它是强韧性的代表，无论你怎么干扰它，迫害它，结局都将归于它。找到Basin of attraction 是利用定点预测系统的必备条件，给定一个系统，如果它的初始位置处在basin of attraction，那么它必归于定点。
不稳定性呢，就是脆弱性的代表了。任何环境的风吹草动都能结束她表面的美丽。如同得了艾滋病的人，今天看着好好的，随便一个病毒就可以摧毁他。
最强的定点具有全局稳定性，即无论任何初始条件，系统都将趋于这样的定点，这样的系统就是高度可预测系统。
很多系统往往具备一个稳定点和一个不稳定点成对出现。比如刚才的人口模型，人口为0就是一个不稳定平衡点。当人口为0的时候，它可以永远为0，但只要系统的人口增长了1，它就会趋于定点K，掌控系统除0之外所有区域的稳定点。
算命先生往往就是掌握动力学定点理论的人，它们往往根据一些片段的细节，做出一些“大胆”的预测，比如看到一个20岁左右打扮漂亮的女士，就会说你会有一个有钱的老公，漂亮的房子一类，看到满手老茧的老妈子就会说你一定一切为丈夫和孩子操心了一辈子一类。 它们往往知道系统有一个稳定点和一个不稳定点，美丽的大姑娘找到幸福美满的婚姻呢是稳定点，跟了一个穷二代是不稳定。沧桑的老妪为家庭奔波一生是稳定点，风流一生是不稳定点，所以有50%以上概率命中就不足为奇了。
判断简单系统，抓住定点就是抓住了命门。
II. 二维系统与振动
请先看下面几个问题，
为什么振动普遍存在？
为什么自由竞争的结果往往是垄断？
如何理解经济周期的运行？
解决这些非常基本的问题，我们需要一个二维的动力学系统。 二维可以描述比一维丰富多的现象，正如通物理学从描述两个物体的相互作用开始描述了世界。
一维的系统往往归于单调的定点，而二维系统的主角却是振动，人类几千年来描述自然最有利的工具。
看看我们周围，从自然到人类，世界可以看作一部不同频率振动组成的交响曲。四季周而复始，太阳升起落下，我们的呼吸，脉搏，心跳，新陈代谢，生命的更替,经济系统的周期涨落，中国历史的王朝更替， 几乎有运动的地方，就有振动。
为什么振动的形式这么广泛的存在？ 其实依然是因为定点的广泛存在， 所谓振动，无非围绕一个却确定的状态的上下波动。 就好像那希腊神话痛苦的西西弗斯，把石头推上山，可它却滚下去，然后他又推上山， 他想叫石头停在山上不动，可他就是达不到。
对于为什么振动如此普遍， 非线性动力学之父庞加莱有一个神一样的定理： Poincare-Bendixson Theorem：
条件：
1.2D - 你有一个二维的动力学系统
2.Continous - 系统连续可微
3. Confined - 动力学流在一个区域内封闭
4. No Fix point- 在此区域内定点不可达到
结论：
该区域内的动力学流将收敛于一条闭合轨道（等价于圆）。
翻译一下，相平面的闭合轨道=周期性运动=振动。 这个定理告诉我们，有限二维系统里的运动形式只有有两种： 1. 平衡态（归于定点） 2. 周期运动。 不存在其它情况。 有限只得是系统不会无限取值或发散。由于自然中负反馈的普遍存在这一条一般是满足的。 这条定律解释了振动普遍存在的根本原因，因为它是二维运动的范式。
作为一条以拓扑学为根据的定理，它标志了人类思维的新形式-拓扑思维，这种把各种不同形式的系统归于空间里的拓扑研究的思想，是一种超越性的思想。它标志了数学在解释世界的能力上的新高度。 从此，我们对世界的认识，取决于我们对几何空间的拓扑性的归类。 那些能够归于同一拓扑结构的系统，则具有相同的动力学本质，即使他们的物质组成有多不同。因此，拓扑的思维具有高屋建瓴，以一敌百的特性。
图为相平面上的闭合轨道，庞加莱引理告诉我们，二维动力学流非流向定点即指向闭合轨道。
这条定律确立了非随机的二维系统的绝对可预测性，二维系统没有混沌。
它你发现振动，你就去找系统里有没有两个关键性的动力学变量，并且观察这个系统是否有稳定的平衡态（如果没有，往往预示存在一个无定点的闭合区域），这样的方法往往有效。
能量守恒系统的振动：
经典物理的振动核心在于能量守恒， 无论是弹簧的振动，单摆，还是电磁波。
对这类系统的传统解法是对微分方程进行积分得到运动的轨迹。但是利用一些动力学的基本知识我们也可以完全不用积分了解它的运动性质。
以单摆为例：
首先，把微分方程写成标准的二维动力学系统形式：体系内有两个动力学变量：角度和速度。
然后看看定点可不可以达到。只要能量不为0的系统都不可以，因为theta=0,v=0意味系统能量为0，
根据能量守恒定律，能量不为0的系统不可以达到这个点。
最后： 系统是否在相平面里封闭？ 是的，回复力-sin（theta）起负反馈的作用，根据能量守恒定律，theta，v均在有限区间取值。
因此，系统在相平面内作圆周运动。
单摆在相平面的圆周运动（右）对应其在真实空间的振动（左）。 只要把握了相空间的性质，无需解方程也可了解运动的性质。
注： 如果系统内有摩擦力，能量守恒不在成立，则系统具有稳定点x=0，theta=0. 依然符合庞加莱定理。 系统如果不再振动，则归于定点。
当然，经典物理的例子基本是trivial的， 动力学的威力要在更复杂抽象的系统里显现。
能量不守恒的开放系统里的振动：
当一个系统有能量流入流出，我们称之为开放系统（为与能量守恒的保守系统区分），对于一个二维的开放系统， 庞加莱定理依然成立，系统若不归于平衡，则步入永恒的循环。
这样的系统比比皆是，神经细胞周期性的电震荡，心脏的跳动（心肌细胞的电震荡引致）， 宏观经济运动的周期， 中国的王朝更迭等。这一类的问题，显然具有比两个多的多的变量，但是如果把关注点集中在它们进行周期运动的时间范围，往往可以抓住两个关键性变量，从而用二维动力学系统的知识解决。这体现了物理的核心思维-Reductionism（简化-抓住主要矛盾）的应用。
例如在经济周期的问题里，两个关键性的变量是国民收入与资本存量。 对于神经细胞，关键性的变量是电位和疲惫指数（放电导致的疲惫，这个问题最好的理解是做爱后要有个不应期，即细胞疲惫）。对于中国王朝，我想是人口和中央集权的管理成本。
注： 黑格尔的辩证法说，正是矛盾导致变化。翻译过来，就是当系统有两个相互制约的变量，就引起永恒的振动。亦或者说-Poincare-Bendixon 原理就是辩证法的数学精确表达。
一个最典型的例子依然是延续我们关于物种数量的故事，刚才讲到一维的人口模型里人口将达到定值，而事实自然界中的物种数量却是震荡变化的，为什么？
解答这个问题，就需要讨论两个物种共存的情况（二维），试问下面的问题， 在一片草原里生活着狮子和羚羊，狮子吃羚羊，羚羊吃草（假设无限），假设一开始物种数量是均等的，那么后来两个物种的数量变化会是怎么样的？ 显然，两种物种间有相互作用， 狮子的存在依赖于羊（简单的想法是羊肉变成了狮子），而羊的数量因为狮子而减少，如果没有狮子，羊的数量增长就符合之前的S曲线：
这样一个系统可以被一个Lotka-Volterra 方程的经典二维动力学系统表述:
这个方程极为容易理解。系统的两个变量一个是羊的数量（x），一个是狮子的数量（y）。 第一项描述羊的自然生长率。 第二项描述羊被吃的数量，x和y的乘积决定两个物种相遇的机会， 所以羊被吃的速率正比于xy。相应的，狮子可以理解为由羊肉转化出来的，所以其增长率正比于捕获的羊数量（方程二第一项），方程二最后一项描述狮子的死亡率。
那么，如何预测两种物种数量变化？首先进入相平面， 我们看到系统的流形（每一点的微分（dx，dy）构成一个向量，画出箭头犹如流体力学的流速线）。 然后我们分析定点，二维系统里含有两个微分方程，如果一个微分方程为0，例如dx=0，我们得到一个代数关系 x=k*xy. 在相平面里这对应一条线-Nullcline，在这条线上，第一个变量处于平衡态。 同样的我们可以找到变量y的Nullcline， 对应相平面的另一条线，这两条线如果有交点，即二维系统的定点，或者说系统的平衡态。
但是至关重要的是讨论定点的稳定性而非平衡态本身。
这个问题可以很容易的找到四条Nullcline和两个定点： 一个是（0，0），另一个第一象限中的（a,b）， （0，0）代表的两个物种都灭绝了。 这种情况除非是羊死光了才可能出现，而假如是狮子死光了，羊就会无限增长（远离定点）。 在相平面上，就表现为动力学流沿着y轴（对应羊死光的情况）收敛为0，而沿着x轴（对应狮子死光的情况）发散。这一现象的隐含含义是（0，0）点在x方向上是不稳定性定点，而在y方向上是稳定性定点。 这种在一定方向上收敛，而在另一些方向上发散的定点，被我们称为Saddle Point（鞍点），因起三维空间的势能曲面形如马鞍而得名。
相平面的动力学流
图：鞍点X，相空间里形如马鞍的点。
在看看第一象限内的定点（a，b），它描述两个物种数量互相制约的平衡状态， 看似这是一个合理的结局。狮子和羊的数量打到平衡，这不就是那啥生态平衡吗？ 那你停留在初中生物课本了。在这个定点周围找几个点，画画（dx，dy）的箭头你就知，它们都不是朝向这一点，而是围着这点转圈。 利用我们神一样的庞加莱大法可知。 系统将永不能陷入这个点（除非它一开始别上帝设定好就在那个位置）。而是围绕这个点形成闭合轨道-即振荡。 系统的两个物种的初始数量只要不是有一个灭绝或恰好开始就匹配平衡， 都将行成一个振动变化关系。
狮子和羊在固定系统里的数量成周期震荡。上图为相平面，下图为两个物种数量随时间变化关系。
整个生态学可以用动力学语言描述。其核心议题，生态系统的稳定性正是动力学最拿手的分析内容。
Lotka-Volterra 系统在经济学中也有重要应用。凯恩斯学派用以解释劳动雇用率和资本的周期震荡。这一理论把资本对应为狮子，而劳动雇用率是猎物，两者总是不能自发的处于定点（100%雇用率）而是进入周而复始的震荡状态。
甚至整个凯恩斯的理论可以放入一个简化的二维动力学系统。生产和需求作为一对互相追捕却永远捕不到对方的对手，将陷入不停息的振动状态，亦即经济周期 。 它导致经济运行不可避免的在一定时间走向低谷，如29年代的美国经济危机。凯恩斯根据此提出要认为的控制这个二维经济系统的运行，就需要引入政府作为超级玩家。
但是凯恩斯的理论基础终究是松动的，因为经济系统终究不是二维，过多简化的理论可以帮助我们理解现象， 如果以此为实践的基础，也可以是危险的。
中国历史的循环：
回到开头那个马尔萨斯的故事。中国历史为什么会陷入循环？中国历史的循环，是以一个标志性的事件开始的： “秦王扫六合，虎视何雄哉！挥剑决浮云，诸侯尽西来！” 秦始皇以为自己开创了万世不灭的基业，没想到它只是开启了一个历史的闭合轨道。
为什么？ 再仔细看史书， 那里写着王朝末年往往昏君登台，酷吏横行，然后官逼民反。我们发现了黄巾，看到了黄巢，最后是李自成。似乎农民起义是历史循环的推动者。 实则否。农民起义只是历史循环的表现，而导致农民起义的原因才是重要的。 首先是王朝三百年和平导致的人口增长使得人多地少，所谓马尔萨斯陷阱。然后，我们要看到为什么这样的循环从秦开始，因为秦是中国历史的第一次大规模中央集权尝试，像齐度量衡，收天下之兵，立郡县制。 这样的行动，在那个交通通讯尚不发达的年代，势必疯狂增加国家的管理陈本。 所谓20年导致天怒人怨，无非是秦解除原生的地方组织（六国），而管理一个超级帝国需要一个无比烧人烧钱的中央管理体系的必然结局。当中央集权的成本分摊到每个百姓头上，使得其生存能力更加脆弱，超过承受阈值，那就是“ 王侯将相宁有种乎”的时刻。
那为什么后面的王朝也无法逃出这个宿命呢？ 看看它们也确实吸收了历史教训，每当朝代开始就打土豪分田地施行仁政什么。 还是那个问题，马尔萨斯陷阱。王朝交替的时候，系统通过战争消减人口，这个时候分田地自然可以过几年好日子，但是太平久了，人口上升，人均土地又不够。但是维持中央集权的成本却随着总人口的上升而上升（超级帝国管理成本已经巨大）。这也容易理解，要管更多的人，就需要更多的官。这样一来，就要加税，而加税，就等于在本来手里土地已经变少变穷的农民头上雪上加霜，此时系统已经处于临界点，只要遇上一点随机因素，像小病小灾，就将导致翻盘，无论是黄巢起义还是李自成起义。
因此，中国王朝更迭的历史，基本可以看做人口和中央集权成本两个变量相互作用的动力学系统。在这个二维系统里，没有稳定点，只有循环。每隔300年一次的毁灭性翻盘，成为无可避免。也正因为周期性的清零，技术没法进化，而马尔萨斯陷阱得到稳固，又反过来加固了循环。
这就是中国为这个东方第一大的帝国名头所背负的十字架，因其沉重的中央集权枷锁，而无法逃脱历史的深渊。
并非王朝末年皆为庸主，只是动力学系统性质太稳固，这就是庞加莱的诅咒。
* 中央王朝以各种手段件减少中央集权成本，增加系统稳定性，如修筑各种有形和无形的围墙，防民之口甚于防川。
但是一个系统的特性也不是一成不变，中国的历史不是一开始就绑定了轨道，也曾经是有其它的可能，比如春秋战国的时候。
我们称一个系统自身动力学模式发生变化的过程为Bifurcation-非线性动力学理论的又一丰碑。
本文首发于微信公众号混沌巡洋舰（chaoscruiser）。
欢迎关注混沌巡洋舰，追寻自然界复杂下的简单，带你学习各路跨界干货。
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
