聊一聊深度学习的weight initialization

--- 这是被雷锋网的朋友催出来的文章 :-)，首发于雷锋网_读懂智能&未来 ---

TLDR (or the take-away)

Weight Initialization matters!!! 深度学习中的weight initialization对模型收敛速度和模型质量有重要影响！

• 在ReLU activation function中推荐使用Xavier Initialization的变种，暂且称之为He Initialization：

import numpy as np
W = np.random.randn(node_in, node_out) / np.sqrt(node_in / 2)

• 使用Batch Normalization Layer可以有效降低深度网络对weight初始化的依赖：

import tensorflow as tf
# put this before nonlinear transformation
layer = tf.contrib.layers.batch_norm(layer, center=True, scale=True,
                                     is_training=True)

实验代码请参见我的Github。

背景

深度学习模型训练的过程本质是对weight（即参数 W）进行更新，这需要每个参数有相应的初始值。有人可能会说：“参数初始化有什么难点？直接将所有weight初始化为0或者初始化为随机数！” 对一些简单的机器学习模型，或当optimization function是convex function时，这些简单的方法确实有效。然而对于深度学习而言，非线性函数被疯狂叠加，产生如本文题图所示的non-convex function，如何选择参数初始值便成为一个值得探讨的问题 --- 其本质是初始参数的选择应使得objective function便于被优化。事实上，在学术界这也是一个被actively研究的领域。

TLDR里已经涵盖了本文的核心要点，下面在正文中，我们来深入了解一下前因后果。

初始化为0的可行性？

答案是不可行。 这是一道送分题 哈哈！为什么将所有W初始化为0是错误的呢？是因为如果所有的参数都是0，那么所有神经元的输出都将是相同的，那在back propagation的时候同一层内所有神经元的行为也是相同的 --- gradient相同，weight update也相同。这显然是一个不可接受的结果。

可行的几种初始化方式

• pre-training

pre-training是早期训练神经网络的有效初始化方法，一个便于理解的例子是先使用greedy layerwise auto-encoder做unsupervised pre-training，然后再做fine-tuning。具体过程可以参见UFLDL的一个tutorial，因为这不是本文重点，就在这里简略的说一下：（1）pre-training阶段，将神经网络中的每一层取出，构造一个auto-encoder做训练，使得输入层和输出层保持一致。在这一过程中，参数得以更新，形成初始值（2）fine-tuning阶段，将pre-train过的每一层放回神经网络，利用pre-train阶段得到的参数初始值和训练数据对模型进行整体调整。在这一过程中，参数进一步被更新，形成最终模型。

随着数据量的增加以及activation function (参见我的另一篇文章) 的发展，pre-training的概念已经渐渐发生变化。目前，从零开始训练神经网络时我们也很少采用auto-encoder进行pre-training，而是直奔主题做模型训练。不想从零开始训练神经网络时，我们往往选择一个已经训练好的在任务A上的模型（称为pre-trained model），将其放在任务B上做模型调整（称为fine-tuning）。

• random initialization

随机初始化是很多人目前经常使用的方法，然而这是有弊端的，一旦随机分布选择不当，就会导致网络优化陷入困境。下面举几个例子。

核心代码见下方，完整代码请参见我的Github。

data = tf.constant(np.random.randn(2000, 800))
layer_sizes = [800 - 50 * i for i in range(0,10)]
num_layers = len(layer_sizes)

fcs = []  # To store fully connected layers' output
for i in range(0, num_layers - 1):
    X = data if i == 0 else fcs[i - 1]
    node_in = layer_sizes[i]
    node_out = layer_sizes[i + 1]
    W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out)) * 0.01 
    fc = tf.matmul(X, W)
    fc = tf.nn.tanh(fc)
    fcs.append(fc)

这里我们创建了一个10层的神经网络，非线性变换为tanh，每一层的参数都是随机正态分布，均值为0，标准差为0.01。下图给出了每一层输出值分布的直方图。

随着层数的增加，我们看到输出值迅速向0靠拢，在后几层中，几乎所有的输出值x都很接近0！回忆优化神经网络的back propagation算法，根据链式法则，gradient等于当前函数的gradient乘以后一层的gradient，这意味着输出值x是计算gradient中的乘法因子，直接导致gradient很小，使得参数难以被更新！

让我们将初始值调大一些：

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out))

均值仍然为0，标准差现在变为1，下图是每一层输出值分布的直方图：

几乎所有的值集中在-1或1附近，神经元saturated了！注意到tanh在-1和1附近的gradient都接近0，这同样导致了gradient太小，参数难以被更新。

• Xavier initialization

Xavier initialization可以解决上面的问题！其初始化方式也并不复杂。Xavier初始化的基本思想是保持输入和输出的方差一致，这样就避免了所有输出值都趋向于0。注意，为了问题的简便，Xavier初始化的推导过程是基于线性函数的，但是它在一些非线性神经元中也很有效。让我们试一下：

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out)) / np.sqrt(node_in)

Woohoo！输出值在很多层之后依然保持着良好的分布，这很有利于我们优化神经网络！之前谈到Xavier initialization是在线性函数上推导得出，这说明它对非线性函数并不具有普适性，所以这个例子仅仅说明它对tanh很有效，那么对于目前最常用的ReLU神经元呢（关于不同非线性神经元的比较请参考这里）？继续做一下实验：

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out)) / np.sqrt(node_in)
......
fc = tf.nn.relu(fc)

前面看起来还不错，后面的趋势却是越来越接近0。幸运的是，He initialization可以用来解决ReLU初始化的问题。

• He initialization

He initialization的思想是：在ReLU网络中，假定每一层有一半的神经元被激活，另一半为0，所以，要保持variance不变，只需要在Xavier的基础上再除以2：

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in,node_out)) / np.sqrt(node_in/2)
......
fc = tf.nn.relu(fc)

看起来效果非常好，推荐在ReLU网络中使用！

Batch Normalization Layer

Batch Normalization是一种巧妙而粗暴的方法来削弱bad initialization的影响，其基本思想是：If you want it, just make it!

我们想要的是在非线性activation之前，输出值应该有比较好的分布（例如高斯分布），以便于back propagation时计算gradient，更新weight。Batch Normalization将输出值强行做一次Gaussian Normalization和线性变换：

Batch Normalization中所有的操作都是平滑可导，这使得back propagation可以有效运行并学到相应的参数\gamma，\beta。需要注意的一点是Batch Normalization在training和testing时行为有所差别。Training时\mu_\mathcal{B}和\sigma_\mathcal{B}由当前batch计算得出；在Testing时\mu_\mathcal{B}和\sigma_\mathcal{B}应使用Training时保存的均值或类似的经过处理的值，而不是由当前batch计算。

随机初始化，无Batch Normalization：

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out)) * 0.01
......
fc = tf.nn.relu(fc)

随机初始化，有Batch Normalization：

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out)) * 0.01
......
fc = tf.contrib.layers.batch_norm(fc, center=True, scale=True,
                                  is_training=True)
fc = tf.nn.relu(fc)

很容易看到，Batch Normalization的效果非常好，推荐使用！

参考资料

Xavier initialization是由Xavier Glorot et al.在2010年提出，He initialization是由Kaiming He et al.在2015年提出，Batch Normalization是由Sergey Ioffe et al.在2015年提出。

另有知乎网友在评论中提到了一些其他相关工作：https://arxiv.org/abs/1511.06422， https://arxiv.org/pdf/1702.08591.pdf

1. Xavier Glorot et al., Understanding the Difficult of Training Deep Feedforward Neural Networks
2. Kaiming He et al., Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classfication
3. Sergey Ioffe et al., Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift
4. Standord CS231n